|
Задача: имеет ли уравнение $%x^2+y^2+z^2=2xyz$% ненулевые решения в целых числах? Рассматриваю по модулю $%4$%. Квадраты -- $%0$% и $%1$%. Если в левой части хотя бы одна единица и один ноль, то левая часть не равна нулю, а правая зануляется. Если в левой части три единицы, то она равна $%3$%, а правая равна $%2$%. задан 9 Авг '22 13:05 
haosfortum |
|
Нет. См. страницу 16 в статье "Диофантово уравнение А.А.Маркова" в Кванте. отвечен 8 Янв 7:27 
maxal |
|
(если рассуждение вызывает сомнения, можно решить иным путем) $%x^2 - 2yz \cdot x + (y^2+z^2) = 0 \to x = yz \pm \sqrt{(yz)^2 - (y^2+z^2)} \to (y^2-1)(z^2-1) = w^2+1^2$%, где $%w$% - целое число. Нечетные $%y,z$% исключены, т.к. правая часть неспособна быть четно-четной (при нечетном $%w$% она четно-нечетная). Четные $%y,z$% тоже исключены: обе скобки в левой части принимают вид $%4N+3$%, что указывает на присутствие простых множителей этого вида, но правая часть, будучи суммой взаимно простых квадратов, не может содержать (парных) простых множителей вида $%4N+3$%. Никаких "хороших" $%x,y,z,$% отличных от нуля, не имеется. отвечен 8 Янв 0:13 
Манфред |
Если делить на 4 обе части, то справа уже будет не 2, а 4, хотя это совсем не мешает повторить те же рассуждения! Т.е. метод спуска возникает.
@michael, и если мы и дальше будем "делить на 4", то справа потом будет 8, 16 и так далее. Но вечно это повторяться может только в том случае, если x=y=z=0, верно?
Да, в этом и заключается суть метода спуска, который использовал ещё Ферма.