|
Докажите, что a) коммутативность сложения векторов (x + y = y + x для любых x, y ∈ V) является следствием остальных условий, наложенных на операции в определении линейного пространства и, следовательно, может быть вычеркнута из определения. b) восьмое условие (1 · x = x для любого x ∈ V) не является следствием остальных условий, наложенных на операции в определении линейного пространства. c) 3 и 4 условия в определении линейного пространства можно заменить на следующее одно условие: для любых a, b ∈ V существует единственный элемент x ∈ V такой, что a + x = b. d) 1 и 4 условия в определении линейного пространства можно заменить на следующее одно условие: ∀a ∈ V 0a = 0. e) 3 и 4 условия в определении линейного пространства можно заменить на следующее одно условие: ∃0 ∈ V ∀a ∈ V 0a = 0. f) Найдите ошибку в следующем «доказательстве»: для любого векто- ра a положим b = (−1)a. Тогда a + b = a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1+(−1))a = 0a = 0. Таким образом, условие 4 «следует» из условий 6 и 8. Свойства из книги: 1) ∀a ∈ V, ∀b ∈ V a + b = b + a; 2) ∀a ∈ V, ∀b ∈ V, ∀c ∈ V (a + b) + c = a + (b + c); 3) ∃ 0 ∈ V ∀a ∈ V a + 0 = a; 4) ∀a ∈ V ∃ b ∈ V a + b = 0; 5) ∀a ∈ V, ∀b ∈ V, ∀α ∈ F α(a + b) = αa + αb; 6) ∀a ∈ V, ∀α ∈ F, ∀β ∈ F (α + β)a = αa + βa; 7) ∀a ∈ V, ∀α ∈ F, ∀β ∈ F (αβ)a = α(βa); 8) ∀a ∈ V 1a = a. задан 20 Авг '22 21:12 
Metamath |
|
Пункт а) где-то был на форуме. Пункт b) следует из того, что если мы в качестве произведения вектора v на скаляр результатом положим нулевой вектор, то всё кроме последнего будет верно. Пункт c) -- стандартное свойство (абелевых) групп. Для векторных пространств x=b+(-a) даёт единственное решение. В обратную сторону: a+x=a даёт решение x=0, где результат пока что зависит от a. Для произвольного b рассмотрим x такое, что b=a+x=x+a. При этом b+0=(x+a)+0=x+(a+0)=x+a=b, то есть 0 является общим нейтральным элементом. Это даёт 3. Далее из решения a+x=0 имеем 4. Пункт d) -- если верно 1 и 4, то верна лемма: из x+x=0 следует x=0. Доказательство: дано x+x=0, находим y такое, что x+y=0. Тогда (x+x)+y=x+y=0, а левая часть равна x+(x+y)=x+0=x. Теперь 0a=(0+0)a=0a+0a, и применяем лемму к x=0a. В обратную сторону: 4 следует из рассуждения пункта f), где в конце использовано 0a=a, и далее коммутативность следует ввиду a). Сразу отметим, что в f) последнее условие 0a=a берётся как уже готовое, но его вывод в предыдущем абзаце сам основан на 4. e) Условие 0a=0 следует из 3 и 4. Если же это дано без 3 и 4 для всех a из V, то далее a+0=1a+0a=(1+0)a=1a=a, что доказывает 3, а 4 имеем как выше из рассуждения пункта f), зная, что 0a=a. отвечен 21 Авг '22 0:30 
falcao |
решается так: выделяем а) копируем, вставляем в яндекс - списываем решение, как дальше - удастся сообразить?)
Для а прокатик, а для остальных нет.
в прокате)