интегралы - Определённый интеграл

Хотя это стандартный пример, но имеет смысл показать несколько приёмов, которые можно использовать для нахождения этого интеграла, а также для решения каких-то ещё примеров.

Прежде всего, если функция под знаком интеграла имеет вид $%\frac{f'(x)}{f(x)}$%, то $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int\frac{d(f(x))}{f(x)}=\ln|f(x)|+C.$$ В данном случае производная функции в знаменателе равна $%4x^3$%, и это позволяет найти интеграл от функции $%\frac{x^3}{x^4+1}$% -- домножив и разделив на $%4$%. Знак модуля у логарифма при этом можно отбросить, так как $%x^4+1$% всегда больше нуля.

Далее, остаётся разобраться с интегралом от функции $%\frac{x}{x^4+1}$%. Здесь возникает выражение $%x\,dx$%, которое можно записать как $%\frac12d(x^2)$%, и это подсказывает возможность использования замены переменной: $%y=x^2$%. При этом получается интеграл $%\int\frac{dy}{1+y^2}$% (с коэффициентом), но он является табличным (арктангенс).

Таким образом, надо сначала интеграл представить в виде суммы, а затем к каждому из слагаемых применить один из описанных приёмов.