(x^3+x)/(x^4+1)

Вычислить определённый интеграл

задан 12 Ноя '13 21:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Хотя это стандартный пример, но имеет смысл показать несколько приёмов, которые можно использовать для нахождения этого интеграла, а также для решения каких-то ещё примеров.

Прежде всего, если функция под знаком интеграла имеет вид $%\frac{f'(x)}{f(x)}$%, то $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int\frac{d(f(x))}{f(x)}=\ln|f(x)|+C.$$ В данном случае производная функции в знаменателе равна $%4x^3$%, и это позволяет найти интеграл от функции $%\frac{x^3}{x^4+1}$% -- домножив и разделив на $%4$%. Знак модуля у логарифма при этом можно отбросить, так как $%x^4+1$% всегда больше нуля.

Далее, остаётся разобраться с интегралом от функции $%\frac{x}{x^4+1}$%. Здесь возникает выражение $%x\,dx$%, которое можно записать как $%\frac12d(x^2)$%, и это подсказывает возможность использования замены переменной: $%y=x^2$%. При этом получается интеграл $%\int\frac{dy}{1+y^2}$% (с коэффициентом), но он является табличным (арктангенс).

Таким образом, надо сначала интеграл представить в виде суммы, а затем к каждому из слагаемых применить один из описанных приёмов.

ссылка

отвечен 12 Ноя '13 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×961

задан
12 Ноя '13 21:29

показан
336 раз

обновлен
12 Ноя '13 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru