Доказать неравенство

Здесь в условии не хватает оговорки, что числа $%a,b,c$% положительны. В общем случае это неравенство неверно: даже если знаменатели отличны от нуля, можно привести контрпример $%a=0$%, $%b=2$%, $%c=-1$%.

Итак, добавим условие положительности чисел. Введём новые величины $%x=b+c$%, $%y=a+c$%, $%z=a+b$%. Эти числа тоже будут положительными, и в обратную сторону имеем следующие зависимости: $%a=\frac{y+z-x}2$%, $%b=\frac{x+z-y}2$%, $%c=\frac{x+y-z}2$%.

Подставляя эти числа в неравенство и умножая обе части на $%2$%, имеем $$\frac{y+z-x}x+\frac{x+z-y}y+\frac{x+y-z}z\ge3,$$ что равносильно $$\frac{y+z}x+\frac{x+z}y+\frac{x+y}z\ge6.$$ Последнее неравенство следует из того, что $%\frac{x}y+\frac{y}x\ge2$%, а также двух симметричных ему неравенств, которые надо почленно сложить. Для положительных чисел выписанное выше неравенство верно ввиду $$\left(\sqrt{\frac{x}y}-\sqrt{\frac{y}x}\right)\ge0$$ с последующими алгебраическими упрощениями.