векторная-алгебра - Найти единичый вектор

Пусть $%c=(x,y,z)$%. Перпендикулярность вектору $%a$% означает равенство нулю скалярного произведения $%a\cdot c$%, а это значит, что $%y+z=0$%. Таким образом, можно далее говорить о векторе $%c=(x,y,-y)$%. Скалярное произведение $%b\cdot c$% равно $%x+y$%, и это есть произведение длин векторов на косинус угла между ними. Длина $%c$% у нас равна единице, длина $%b$% равна $%\sqrt2$%, а косинус $%\pi/4$% равен $%1/\sqrt2$%. Отсюда $%x+y=1$%, и это условие равносильно тому, что угол между $%b$% и $%c$% составит $%\pi/4$%.

Таким образом, осталось лишь учесть, что квадрат длины $%c$% равен единице. Это приводит к уравнению $%(1-y)^2+2y^2=1$%, откуда $%y=0$% или $%y=2/3$%. Таким образом, $%c=(1;0;0)$% или $%c=(1/3;2/3;-2/3)$%. Подсчёт определителей из строк координат векторов $%a$%, $%b$%, $%c$% показывает, что для $%c=(1;0;0)$% определитель отрицателен, а для $%c=(1/3;2/3;-2/3)$% он положителен. Значит, подходит только последний из случаев.