1
1

Вычислить предел: $$ \lim_{\varepsilon \to 0}\int_\varepsilon^1 x^{-1} \cos\left(x^{-1} \ln x\right)\,dx$$

(Это — одна из наиболее трудных когда-либо решённых математических задач.)

задан 25 Сен '22 11:55

1

Почему бы не написать вычислить несобственный интеграл (от 0 до 1)?

(25 Сен '22 12:47) mihailm

@mihailm, от это задача станет легче?

(25 Сен '22 13:20) Казвертеночка

*от этоГО.

(25 Сен '22 16:18) Казвертеночка
2
(25 Сен '22 16:29) Igore

@Igore, уже изобрели поисковую систему для математических выражений?

(25 Сен '22 16:39) Казвертеночка

@Igore, кстати, в MathWorld вместо $%\ln$% написано почему-то $%\log.$%

(25 Сен '22 16:57) Казвертеночка

кстати, если там не предел справа, то видимо предела просто не существует...

(25 Сен '22 18:18) all_exist
1

@Казвертеночка: в таких пакетах log это и есть ln.

@all_exist: предел там конечно, должен быть справа. Вообще, лучше было сразу записать как несобственный интеграл.

(25 Сен '22 18:55) falcao
1

@mihailm, от это задача станет легче?

Нет конечно. Но ее будет приятнее решать)

(25 Сен '22 19:00) mihailm

По-моему, это будет интеграл от $%\cos ze^z$% от нуля до бесконечности. Не знаю, решается ли такое в принципе.

(25 Сен '22 21:28) falcao

@falcao, ещё как решается, и даже 100 долларов предлагалось за решение. По тем временам это были немалые деньги.

(25 Сен '22 22:21) Казвертеночка
1

@Igore: по Вашей ссылке на Вольфрам фигурирует число $%{\cal H}_1$%. Что оно означает?

(26 Сен '22 21:30) falcao
1

@falcao, я так понял это просто ответ в задаче номер 1 из списка задач "hundred-dollar, hundred-digits challenge problems"

(26 Сен '22 21:45) mihailm

@falcao: да, это обозначение для числа из первой задачи из списка задач, о котором идёт речь на mathworld (другая ссылка). И ниже они написали, что именно означает число $%{H_1}$%, если кликнуть на этот текст, то появляется ссылка на основной текст.

(26 Сен '22 21:52) Igore
2

@Igore: понятно. Судя по всему, указанные цифры там найдены верно, а сама константа по определению является точным ответом, так как возникла в связи с этой задачей.

@Казвертеночка: я прочитал по ссылке -- точного аналитического ответа ни у кого нет, а $100 предлагали за нахождение нескольких верных знаков.

(26 Сен '22 23:03) falcao
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
0

Математика 13.1 отвечает без проблем

NIntegrate[1/x*Cos[Log[x]/x], {x, 0, 1}]

$$ 0.3233674295767253 $$

ссылка

отвечен 26 Сен '22 15:37

@Markiyan Hirnyk, так неверно она отвечает. Правильный ответ (с точностью до 10 цифр после запятой): 0.3233674316.

(26 Сен '22 17:44) Казвертеночка

@Казвертеночка: Пожалуйста, обоснуйте Ваше голословное утверждение.

(26 Сен '22 17:55) Markiyan Hirnyk
1

Да, подвела конечно Математика 13.1

Обоснование см. в ссылке, которую дал @Igore

(26 Сен '22 19:57) mihailm

@mihailm: Ваши слова не соответствуют действительности: в обеих его ссылках в этой теме нет обоснования для 0.3233674316.

(26 Сен '22 22:19) Markiyan Hirnyk
1

@Markiyan Hirnyk: в данном случае Вольфрам что-то приближённо посчитал, и ответ оказался близким к некой константе, которая там обозначена в виде $%{\cal H}_1$%. Что это такое, я не знаю. Она это или не она, я также не знаю. Поскольку приближённые ответы двух программ расходятся, то встаёт вопрос о том, какая из них считает точнее. И есть ли данные о том, сколько верных цифр в ответе программы Математика?

(26 Сен '22 22:58) falcao

Верные 10 цифр после запятой для числа $%{H_1}$% есть в таблице в конце этой страницы.

(26 Сен '22 23:08) Igore

@Igore: Как Вы получили 0.32336743? Ответа нет.

(26 Сен '22 23:20) Markiyan Hirnyk

@falcao: Левая часть формулы (4) в MathWorld , как я вижу, отличается от подинтегрального выражения в этом вопросе. Неясно также, является ли асимптотический ряд (the asymptotic series) сходящимся рядом.

(26 Сен '22 23:32) Markiyan Hirnyk

@Markiyan Hirnyk, я ничего не вычислял, приближённое значение предела посчитал Вольфрам.

(26 Сен '22 23:47) Igore

@Igore: Как? Пожалуйста, без отписок.

(26 Сен '22 23:51) Markiyan Hirnyk

Да, в http://oeis.org/A117231 приводится также значение 0.32336743167777876139937.

(26 Сен '22 23:54) Markiyan Hirnyk

@Markiyan Hirnyk, хм.. Открываем страницу wolframalpha.com, вводим int(cos(ln(x)/x)/x, x = 0 .. 1), нажимаем Enter, получаем ответ. А как вычислял Вольфрам - я без понятия.

(26 Сен '22 23:55) Igore

@falcao: Команда NIntegrate[1/x*Cos[Log[x]/x], {x, 0, 1}] надежно производит 0.323367 (В моем ответе приведены также спрятанные цифры.). В подавляющем большинстве реальных расчетов такой точности более чем достаточно.

(27 Сен '22 0:00) Markiyan Hirnyk
1

Да, в http://oeis.org/A117231 приводится также значение 0.32336743167777876139937.

@Markiyan Hirnyk, не может быть! неужто в ссылках нашли??? А извиниться за многократное ... мозгов, а?

(27 Сен '22 1:02) mihailm

@mihailm: http://oeis.org/A117231 не является ссылкой @Igore. Это ссылка из ссылки mathworld.wolfram.com .

(27 Сен '22 15:21) Markiyan Hirnyk

@Markiyan Hirnyk, забавный вы персонаж, конечно))

(27 Сен '22 18:17) caterpillar
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,466
×869
×134
×1
×1

задан
25 Сен '22 11:55

показан
291 раз

обновлен
27 Сен '22 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru