Решить систему уравнений:

$%\left\{ \begin{aligned} x+y+z+t=10\\ x^2+y^2+z^2+t^2=30\\ xyzt=24\\ \displaystyle\frac{x}{t}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{z}=\frac{61}{12}\\ \end{aligned} \right.$%

задан 30 Сен '22 12:16

а вы по одному решайте уравнения может и получаться начнет))

(30 Сен '22 12:20) mihailm

я пробовал) некоторые получаются)

(30 Сен '22 12:22) BlueFlowers

вот и продолжайте по одному и пишите чего там не получается

(30 Сен '22 12:26) mihailm
1

Здесь любая перестановка чисел 1, 2, 3, 4 подходит для первых трёх уравнений, и любая их циклическая перестановка является решением последнего. По-видимому, надо далее доказывать, что других решений нет, пытаясь составить для переменной x уравнение 4-й степени.

(30 Сен '22 16:13) falcao
1

Reduce[x + y + z + t == 10 && x^2 + y^2 + z^2 + t^2 == 30 && x*y*z*t == 24 && x/t + y/x + z/y + t/z == 61/12, {x, y, z, t}, Reals] отвечает ((x == 1 && y == 2 && z == 3) || (x == 1 && y == 2 && z == 4) || (x == 2 && y == 3 && z == 4) || (x == 2 && y == 4 && z == 3) || (x == 3 && y == 1 && z == 2) || (x == 3 && y == 4 && z == 1) || (x == 4 && y == 1 && z == 2) || (x == 4 && y == 3 && z == 1)) && t == 10 - x - y - z. Есть также комплексные корни. Зачастую такие алгебраические системы составляют по заданным наперед корням.

(30 Сен '22 16:26) Markiyan Hirnyk

Вручную решается через формулы Виета.

(30 Сен '22 16:36) Markiyan Hirnyk

@Markiyan Hirnyk: а как быть с последним уравнением и значением xyz+xyt+xzt+yzt? Если это дело выразить, то всё просто.

(30 Сен '22 17:27) falcao

@falcao: Умножить его на $%xyzt$% и затем $%t^2 x y+t x z^2+t y^2 z+x^2 y z$% выразить через элементарные симметрические многочлены.

(30 Сен '22 17:51) Markiyan Hirnyk
1

@Markiyan Hirnyk: трудность в том, что этот многочлен симметрическим не является. Он инвариантен относительно циклических перестановок, но при транспозициях типа x<->y он меняется. Поэтому через ЭСМ он не выражается, к сожалению.

(30 Сен '22 17:59) falcao
1

Если я правильно понял, Мэйпл решает эту систему через базис Гребнера: уранение 24 степени с типичными коэффициентами 862472647473328259048951776892944384000б, 8624726474733282590489517768929443840000.

(30 Сен '22 19:48) Markiyan Hirnyk
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
-1

1; 2; 3; 4 (устно, перебором, по интуиции).

ссылка

отвечен 30 Сен '22 16:16

@Buratino: так это сразу ясно, но надо доказать, что нет других решений!

(30 Сен '22 17:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×394
×364

задан
30 Сен '22 12:16

показан
162 раза

обновлен
30 Сен '22 19:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru