Разложить по формуле Маклорена до о(x^n)функцию: F(x)=ln(2+x+x^2)

задан 14 Ноя '13 13:41

Вам нужно разложение до $%o(x^n)$% в общем виде, или для какого-то конкретного $%n$% в одном из вариантов?

(14 Ноя '13 13:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь для $%n$%-й производной получается достаточно сложная закономерность. Такой способ решения в принципе является естественным, если закономерность угадывается. И бывают похожие задачи, где такое удаётся сделать. Однако здесь, мне кажется, этот подход не работает. Вот какие получаются начальные члены ряда: $$F(x)=\ln(2)+(1/2)x+(3/8)x^2-(5/24)x^3-(1/64)x^4+(11/160)x^5-(3/128)x^6-$$ $$-(13/896)x^7+(31/2048)x^8-(5/4608)x^9+o(x^{10}).$$ Какой-то хорошей закономерности здесь я не усматриваю.

Единственное, что могу предложить, это такой способ. Разложение в ряд натурального логарифма от $%1+z$%, где $%z\to0$%, имеет достаточно простой вид. Поэтому $$F(x)=\ln2+\ln\left(1+\frac{x(1+x)}2\right)=\ln2+\frac{x}2(1+x)-\frac{x^2}{2\cdot2^2}(1+x)^2+\frac{x^3}{3\cdot2^3}(1+x)^3+\cdots$$ и далее у степеней $%1+x$% раскрываются скобки по биномиальной формуле, что приводит к какой-то формуле для коэффициентов, выражаемых через сочетания.

Добавление. Изменённый вариант условия ведёт к более простой задаче, потому что многочлен под знаком логарифма легко раскладывается на множители. Тогда логарифм произведения становится суммой логарифмов, и для линейных выражений разложение выписывается просто. Потом только два ряда надо будет почленно просуммировать.

ссылка

отвечен 14 Ноя '13 14:27

изменен 14 Ноя '13 15:37

1

Разница тут, казалось бы, не принципиальна. Однако при замене плюса на минус закономерность уже появляется. Вот как выглядят тогда первые члены ряда: $$\ln(2)+(1/2)x-(5/8)x^2+(7/24)x^3-(17/64)x^4+(31/160)x^5-(65/384)x^6+(127/896)x^7+o(x^8).$$ Тут уже у числителей видно, как они устроены, так что есть шанс описать общий член ряда.

(14 Ноя '13 15:07) falcao

Скажите пожалуйста, как описать общий член ряда?

(20 Ноя '13 10:46) Anirina
1

Для $%\ln(2+x-x^2)=\ln(2-x)+\ln(1+x)=\ln2+\ln(1-x/2)+\ln(1+x)$% получается, не считая логарифма двух, сумма двух рядов. У второго общий член равен $%(-1)^{n-1}/n$%, прямо по формуле. У первого ряда, с учётом той же формулы, получается $%-1/(n2^n)$%. Остаётся сложить две дроби.

(20 Ноя '13 11:05) falcao

Можно и здесь немного исхитриться ) А именно сказать, что $%x^2 + x + 2 = (x + 1/2 - i \sqrt7/2)(x + 1/2 + i \sqrt7/2)$%
и поступить как в том случае

(21 Ноя '13 0:47) trongsund
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×30

задан
14 Ноя '13 13:41

показан
2582 раза

обновлен
21 Ноя '13 0:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru