1. $%\lim_{x\to 0}(tg(\pi/4-x))^{ctg\ x} $%
  2. $%lim_{x\to\pi/2} (sinx)^{1/ctg\ x}$%
  3. $%f(x)=(arctgx)/(1+x^2), g(x)=3/(2+x^2), x\to+\infty $% Требуется сравнить $%f(x)$% и $%g(x)$%, если это возможно (каждая из них может быть бесконечно большой или бесконечно малой). Имеется в виду порядок малости (например, эквивалентность-порядок малости =1). Этот порядок малости и надо найти.

Очень прошу помочь. Все эти задания я решил, но не совсем правильно и корректно. Нельзя использовать правила Лопиталя, Тейлора итп.

задан 15 Ноя '13 0:08

изменен 15 Ноя '13 21:07

  1. Что такое $%c$%? Какие значения оно может принимать?

  2. Надо исправить условие. Там скобка в показателе, а должно быть, судя по всему, выражение.

  3. Что значит в данном случае "сравнить"?

(15 Ноя '13 0:38) falcao

Внёс изменения.

(15 Ноя '13 8:44) XAegis

При возведении в степень нужно окружать выражение в показателе фигурными скобками.

(15 Ноя '13 8:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Обозначим тангенс $%x$% через $%t$%. Функция примет вид $%(\frac{1-t}{1+t})^{1/t}$%. Её предел при $%t\to0$% равен $%e^{-2}$%. Это легко следует из "второго замечательного предела".

2) Пусть $%y=\pi/2-x\to0$%. Тогда функцию можно записать в виде $%(\cos y)^{f(y)}$%, где $%f(y)=\frac{\cos y}{\sin y}\sim\frac1y$%. Поэтому задача сводится к нахождению предела функции $%(\cos y)^{1/y}$% при $%y\to0$%. Можно представить $%\cos y$% как $%1-(1-\cos y)=1-2\sin^2\frac{y}2$%. При возведении в степень, обратную $%2\sin^2\frac{y}2\sim\frac{y^2}2$%, то есть в степень $%\frac2{y^2}$%, предел равен $%1/e$%. Значит, в данном случае получается предел, равный пределу функции $%e^{-y/2}$%, то есть $%1$%.

3) Поскольку арктангенс на бесконечности стремится к $%\pi/2$%, функция $%f(x)$% эквивалентна $%\frac{\pi}{2x^2}$%. Функция $%g(x)$% эквивалентна $%\frac3{x^2}$%. В обоих случаях получаются бесконечно малые второго порядка (от $%1/x$%), но у второй функции больше константа.

ссылка

отвечен 15 Ноя '13 9:20

Спасибо...

(15 Ноя '13 22:05) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709
×2,624

задан
15 Ноя '13 0:08

показан
564 раза

обновлен
15 Ноя '13 22:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru