Имеется четыре симметрические $%3\times 3$% матрицы над $%\mathbb{C}$%. Доказать, что существует их нетривиальная линейная комбинация ранга не больше 1. В двумерном случае эта задача имеет геометрическое решение: линейные комбинации двух квадратичных форм задают пучок коник, среди которых есть форма ранга 1 - двойная прямая, возможно это рассуждение можно обобщить на трехмерное пространство.

задан 15 Ноя '13 14:36

изменен 17 Ноя '13 0:17

У задачи неправильное условие: если все матрицы получаются из одной с точностью до домножения на число и все имеют ранг 3, то их ЛК может иметь ранг либо 0, либо 3.

(16 Ноя '13 23:56) trongsund

@trongsund: тут было бы точнее говорить о матрице ранга $%\le1$%. С формальной точки зрения, конечно, матрицу ранга 1 можно получить не всегда -- например, если все четыре матрицы нулевые.

(17 Ноя '13 0:08) falcao

да, конечно, поправил

(17 Ноя '13 0:17) Ivan86
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если матрицы линейно зависимы, то составляем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевой матрице. Поэтому считаем их линейно независимыми, и тогда они порождают 4-мерное подпространство в $%{\mathbb C}^6$%. Симметрическая матрица $%||a_{ij}||$% третьего порядка будет далее изображаться в виде вектора $%(a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{13},a_{23})$%. Всякое такое подпространство можно задать в виде множества решений однородной системы из двух независимых уравнений.

Матрица вида $$\begin{pmatrix} x^2 & xy & xz \\ xy & y^2 & yz \\ xz & yz & z^2 \end{pmatrix}$$

имеет ранг не больше 1. Достаточно найти такую ненулевую матрицу в рассматриваемом 4-мерном подпространстве. Это значит, что элементы матрицы удовлетворяют системе из двух уравнений $$\left\{\begin{array}{c}
c_{11}x^2+c_{12}y^2+c_{13}z^2+c_{14}xy+c_{15}xz+c_{16}yz=0\\ c_{21}x^2+c_{22}y^2+c_{23}z^2+c_{24}xy+c_{25}xz+c_{26}yz=0\end{array}\right.\,,$$ где матрица коэффициентов имеет ранг 2. Существование ненулевого решения у такой системы можно доказать "кустарно", обнуляя коэффициент при $%z^2$% в одном из уравнений, выражая $%z$% в виде рациональной функции от $%x$% и $%y$% и подставляя далее это выражение в другое уравнение. Этот путь, вероятнее всего, ведёт к цели, но при этом надо следить за тем, чтобы какие-то выражения не становились нулевыми. Вместо всего этого можно сослаться на однородную теорему Гильберта (см. В.В.Прасолов, "Многочлены", 2-изд., стр. 261, Теорема 25.10). Теорема утверждает, что в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем от $%n+1$% переменной, любая система из $%n$% однородных уравнений имеет ненулевое решение. Из этого факта всё следует.

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 11:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Первый вариант был неверный... попробую ещё раз...

Решение вообще-то длинное и вариантов надо рассматривать несколько, но я ограничусь одним...

Предположим первые строчки образуют набор векторов ранга 3 и при этом линейно независимыми являются строчки первых трёх матриц ... Тогда вместо исходных матриц мы можем рассмотреть их линейные комбинации, построенные таким образом, чтобы новые матрицы имели вид $$ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & a_2 \\ 0 & a_2 & a_3\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 0 & b_2 & b_3\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & c_1 & c_2 \\ 1 & c_2 & c_3\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & d_1 & d_2 \\ 0 & d_2 & d_3\end{pmatrix}. $$

Вычислим линейную комбинацию этих матриц $$t A + x B +y C +z D = \begin{pmatrix}t & x & y \\ x & f_1 & f_2 \\ y & f_2 & f_3\end{pmatrix}=F,$$ где $$f_k=t\cdot a_k + x\cdot b_k + y\cdot c_k + z\cdot d_k.$$

Для того, чтобы ранг полученной матрицы был равен 1, все её строчки должны быть пропорциональны. При этом, если $%t=0$%, то $%x=y=0$%, а, следовательно, $%F=0$%, что возможно только при $%D=0$%...

Если $%t\neq 0$%, то не уменьшая общности можно считать, что $%t=1$%. Тогда для пропорциональности строк должны выполняться равенства $$ \begin{cases} x^2=f_1= a_1 + x\cdot b_1 + y\cdot c_1 + z\cdot d_1 \\ x\cdot y=f_2= a_2 + x\cdot b_2 + y\cdot c_2 + z\cdot d_2 \\ y^2=f_3= a_3 + x\cdot b_3 + y\cdot c_3 + z\cdot d_3 \\ \end{cases} $$ Дальше вышел небольшой затык... Вроде, понятно, что эта система в комплексных числах имеет решения... но строгое обоснование сразу в голову не приходит...

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 3:35

изменен 17 Ноя '13 6:43

@all_exist: в Вашем примере сумма матриц $%A+B+C$% состоит из одних единиц, то есть имеет ранг 1.

(17 Ноя '13 4:19) falcao

@falcao, ((( мои глаза смотрели в другую сторону... попробую реализовать другую идею...

(17 Ноя '13 4:56) all_exist

Предлагаю другой вариант ...

(17 Ноя '13 6:45) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пространство симметрических матриц размеров 2x2 является трехмерным (разумеется над комплексным полем), а значит любые четыре таких матрицы линейно зависимы. Тогда для любых четырех симметрических матриц размеров 3x3 существует такая их нетривиальная линейная комбинация у которой первые два элемента первых двух столбцов равны нулю (т.к. если из симметрической матрицы nxn вычеркнуть последний столбец и последнюю строку, то вновь получим симметрическую матрицу, но размеров (n-1)x(n-1)). Ранг полученной матрицы не превосходит единицы.

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 16:25

Почему ранг полученной матрицы не превосходит единицы? Пусть в третьей строке и в третьем столбце остались одни единицы. Тогда ранг равен двум.

(17 Ноя '13 16:30) falcao

Виноват, не доглядел. Благодарю за поправку.

(17 Ноя '13 16:34) anton25
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,334

задан
15 Ноя '13 14:36

показан
965 раз

обновлен
17 Ноя '13 16:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru