Доказать возможность построения треугольной пирамиды, у которой длины сторон основания равны длинам противолежащих её рёбер

задан 15 Ноя '13 16:40

изменен 16 Ноя '13 15:30

falcao's gravatar image


197k1633

@Ivan86, Ваша контрпирамида не сможет стоять на ногах, потому что в основании её лежит не треугольник, а отрезок $%2a$%. А если рассматривать основание со сторонами $%a, b, c$%? Если в качестве ответа существует правильный тетраэдр, то неужели Земля является единственной планетой Вселенной, где существует жизнь?

(15 Ноя '13 23:23) nikolaykruzh...

Так у нас же треугольник, просто у него стороны близки по сумме к третьей (но отличаются!).

(15 Ноя '13 23:33) trongsund

@trongsund! Зачем рассматривать крайние случаи? Они ведь, как правило, спорные.

(16 Ноя '13 15:10) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Существует довольно просто формулируемый критерий существования тетраэдра с заданными длинами рёбер. Пусть мы создали "макет" тетраэдра, и на каждом ребре написали положительное число. Спрашивается, при каких условиях тетраэдр с такими длинами рёбер будет существовать?

Одно из необходимых условий очевидно: для каждой грани указанные числа удовлетворяют неравенству треугольника. В рассматриваемом Вами примере это условие выполнено: изначально был треугольник с длинами сторон $%a$%, $%b$%, $%c$%, и все грани здесь равны между собой как треугольники по трём сторонам.

Но есть второе необходимое условие, и оно звучит так: для каждой вершины должен выполняться аналог неравенства треугольника для плоских углов. Это значит, что сумма двух плоских углов граней при данной вершине больше третьего из таких углов. Необходимость этого условия следует из известного свойства трёхгранного угла (оно когда-то входило в школьный курс стереометрии).

Можно доказать, что соблюдения двух этих условий достаточно. Более того, второе условие можно ослабить. Если окажется, что хотя бы при одной вершине условие соблюдается (наибольший плоский угол меньше суммы двух других), то тетраэдр можно построить, и для других вершин это неравенство автоматически будет выполнено.

В Вашем примере величины плоских углов будут одни и те же для всех вершин, и это будут три угла треугольника в основании. Ясно, что если треугольник остроугольный, то наибольший угол меньше суммы двух других. Но если он прямоугольный или тупоугольный, то такое условие уже не выполняется, и тетраэдр с указанными Вами свойствами составить нельзя.

Для случая остроугольного треугольника построение достаточно простое: нужно составить трёхгранный угол с нужными углами, и далее отложить по лучам расстояния. Четвёртая грань будет иметь требуемые длины сторон.

ссылка

отвечен 16 Ноя '13 0:44

Я так понимаю, что если на рёбрах некоторой трёхгранной пирамиды, углы которой удовлетворяют выставленному Вами (объективному!) требованию, отложить отрезки $%a, b, c$%, а затем соединить полученные точки прямыми, то их длины будут соответственно равны $%a, b, c$%?

(16 Ноя '13 15:12) nikolaykruzh...

Да, конечно. Это следует в данном случае из признака равенства треугольников (по трём сторонам). Углы ведь мы тут берём те же, что были у исходного треугольника.

(16 Ноя '13 15:32) falcao

Я рассматривал равнобочную трапецию с диагоналями, один из треугольников (диагональ, большее основание и боковая сторона) поворачивал вокруг большего основания до тех пор, пока (расстояние между вершинами обоих треугольников, то, что вначале было меньшим основанием) длина меньшего основания не становилась равной большему основанию. Отсюда шёл вывод. Но у меня он был ошибочен: мне показалось, что такое построение возможно для любого треугольника.Выходит, что пирамида с 4-мя прямыми углами (не в основании, а в пространстве - пирамиду с 4 прямоуг.треугольниками не сделать?) невозможна?

(17 Ноя '13 14:18) nikolaykruzh...

Пирамиду с четырьмя прямоугольными гранями построить можно. Берём прямоугольный треугольник $%ABC$% ($%C$% прямой), и из вершины угла $%A$% строим перпендикуляр $%AS$% к плоскости. Тогда пирамида $%SABC$% подходит (угол $%С$% будет прямым и в $%SBC$%). Чего сделать нельзя, так это добиться того, чтобы три прямых угла сходились в одной вершине, и четвёртая грань имела бы при этом прямой угол. Также нельзя сделать, чтобы при каждой из вершин имелся прямой угол.

(17 Ноя '13 14:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если имеется ввиду хотя бы одна такая пирамида, то подходит, например правильный тетраэдр. Для произвольных сторон основания это неверно, например для основания со сторонами $%a+\varepsilon,a+\varepsilon,2a$% ребро напротив ребра $%2a$% не может быть длиннее удвоенной высоты основания, то есть $%2\sqrt{2a\varepsilon+\varepsilon^2}$%, что может быть меньше $%2a$% при достаточно маленьком $%\varepsilon$%.

ссылка

отвечен 15 Ноя '13 17:43

изменен 16 Ноя '13 11:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку на любой треугольной пирамиде можно достроить параллелепипед, у которого противоположные рёбра пирамиды будут диагоналями противоположных граней... то равенство противоположных рёбер означает возможность достроить пирамиду до прямоугольного параллелепипеда...
То есть взяв произвольный прямоугольный параллелепипед $%ABCDA'B'C'D'$% можем построить требуемую пирамиду $%ACD'B'$%...
Однако, если идти в обратную сторону, то это возможно не всегда... Пусть $%x,y,z$% - сторона прямоугольного параллелепипеда, а $% a,b,c$% - заданные стороны основания пирамиды... Тогда получаем систему уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2 = a^2 \\ y^2+z^2=b^2\\x^2+z^2=c^2\end{cases}$$ Относительно $%x^2,y^2,z^2$% - это невырожденная система, следовательно, разрешима при любой правой части... Решение нетрудно выписать в явном виде... $$\begin{cases} x^2 = \frac{a^2-b^2+c^2}{2} \\ y^2= \frac{a^2+b^2-c^2}{2}\\z^2= \frac{-a^2+b^2+c^2}{2}\end{cases}$$ Итого, требуемое построение возможно только в том случае, если в основании пирамиды лежит остроугольный треугольник...

ссылка

отвечен 16 Ноя '13 0:44

Очень размытое понятие "остроугольный треугольник". Любой треугольник - остроугольный. Надо бы уточнить последнюю фразу.

(16 Ноя '13 15:12) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: Вы меня удивили этим вопросом. Я понимаю, что каких-то сложных понятий или теорем можно не знать, но это общеизвестное школьное разделение. Треугольники бывают остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один из углов прямой) и тупоугольные (один из углов больше 90 градусов).

(16 Ноя '13 15:35) falcao

После Вашего удивления я тоже удивился, но быстро и с лёгкостью простил себя, потому что в школе учился 60 лет назад. И, несмотря на это, до сих пор помню своё имя! Ну а за треугольники - Бог простит. Не удивляйтесь!.. Помню, за теорему Безу я получил на уроке 2, на другой день исправил позорную оценку, но до сих пор плохо помню её содержание. То ли это общее свойство психики, то ли черта индивидуума: что не пошло сразу, то не пойдёт и потом. Возможно, определения треугольников у меня прошли подобно теореме Безу. Это многословие - чтобы до конца использовать свои законные символы.

(17 Ноя '13 13:47) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,424

задан
15 Ноя '13 16:40

показан
1363 раза

обновлен
17 Ноя '13 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru