Даны координаты вершин пирамиды: А1, А2, А3, А4.

Найти: уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7)

задан 17 Дек '11 7:06

изменен 17 Дек '11 20:10

Expert's gravatar image


10115

10|600 символов нужно символов осталось
1

1.Определяем уравнение плоскости, проходящей через грань А1А2А3 $$\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix} = 0 ;$$

$$\begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\\ 10-8 & 5-6 & 5-4\\ 5-8 & 6-6 & 8-4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\\ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0 & 4\end{vmatrix} = $$ $$=(x-8)(-1\times4-1\times0)-(y-6)(2\times4-1(-3))+(z-4)(2\times0-(-1)(-3))=$$ $$= -4(x-8)-11(y-6)-3(z-4) = -4x+32-11y+66-3z+12=$$ $$=-4x-11y-3z+110 = 0$$

Уравнение плоскости: $%-4x-11y-3z+110=0$% или, если умножить на -1: $%4x+11y+3z-110=0$%

2.Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости А1А2А3 и проходящей через точку A4 (т.е. высоту пирамиды)

Из уравнения плоскости $%4x+11y+3z-110=0$% берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {4,11,3}. Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором {A,B,C} и проходящей через данную точку (x0,y0,z0):

$$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+At\\y=y_0+Bt\\z=z_0+Ct\end{array}\right.$$

Подставляем нормальный вектор плоскости и точку A4:

$$\left\{\begin{array}{l}x=8+4t\\y=10+11t\\z=7+3t\end{array}\right.$$

Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды. Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:

$$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{x-8}4\\t=\frac{y-10}{11}\\t=\frac{z-7}3\end{array}\right.$$

$$\frac{x-8}4 = \frac{y-10}{11} = \frac{z-7}3$$

Уравнение высоты: $%\frac{x-8}4 = \frac{y-10}{11} = \frac{z-7}3$%

ссылка

отвечен 23 Дек '11 17:48

изменен 23 Дек '11 18:35

весьма благодарю! а по векторам могём помочь? http://math.hashcode.ru/questions/183/как-найти-градиент ...

(24 Дек '11 13:04) ookami

@insolor! Вы так легко выполнили математические рассуждения, что можно подумать: Вам это не составило никакого труда. Дай-то Бог Вам и впредь ясность мышления и счастливый случай - найти практическое применение Вашим способностям, если они ещё не задействованы!

(8 Янв '13 22:53) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×613
×128

задан
17 Дек '11 7:06

показан
18276 раз

обновлен
8 Янв '13 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru