аналитическая-геометрия - Даны координаты вершин пирамиды

1.Определяем уравнение плоскости, проходящей через грань А1А2А3 $$\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix} = 0 ;$$

$$\begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\\ 10-8 & 5-6 & 5-4\\ 5-8 & 6-6 & 8-4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\\ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0 & 4\end{vmatrix} = $$ $$=(x-8)(-1\times4-1\times0)-(y-6)(2\times4-1(-3))+(z-4)(2\times0-(-1)(-3))=$$ $$= -4(x-8)-11(y-6)-3(z-4) = -4x+32-11y+66-3z+12=$$ $$=-4x-11y-3z+110 = 0$$

Уравнение плоскости: $%-4x-11y-3z+110=0$% или, если умножить на -1: $%4x+11y+3z-110=0$%

2.Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости А1А2А3 и проходящей через точку A4 (т.е. высоту пирамиды)

Из уравнения плоскости $%4x+11y+3z-110=0$% берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {4,11,3}. Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором {A,B,C} и проходящей через данную точку (x0,y0,z0):

$$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+At\\y=y_0+Bt\\z=z_0+Ct\end{array}\right.$$

Подставляем нормальный вектор плоскости и точку A4:

$$\left\{\begin{array}{l}x=8+4t\\y=10+11t\\z=7+3t\end{array}\right.$$

Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды. Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:

$$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{x-8}4\\t=\frac{y-10}{11}\\t=\frac{z-7}3\end{array}\right.$$

$$\frac{x-8}4 = \frac{y-10}{11} = \frac{z-7}3$$

Уравнение высоты: $%\frac{x-8}4 = \frac{y-10}{11} = \frac{z-7}3$%