|
Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что x^3 +y и y^3 +x делятся на x^2 +y^2. задан 16 Ноя '13 21:14 
Джавид Агаев |
|
Докажем вначале, что x и y взаимно просты. Предположим противное. Тогда x и y делятся на некоторое простое число p и пусть p входит в разложения на простые множители чисел x и y соответственно в положительных степенях a и b, положим для определенности, что a не меньше b. Тогда максимальная степень p, на которую делится x^3+y, равна b (поскольку x^3 делится на p^(3a) и тем более на p(b+1), но y делится на p^b и не делится на p^(p+1)). Но x^2+y^2 делится на p^(2b), следовательно x^3+y не может делиться на x^2+y^2. Это противоречие показывает, что x и y взаимно просты. Далее, по условию x(x^2+y^2)-(x^3+y)=y(xy-1) должно делиться на x^2+y^2. Но если предположить, что xy больше 1, то это невозможно, т.к. x^2+y^2 не меньше 2xy, что больше xy-1. Ответ: (1,1) отвечен 18 Ноя '13 16:23 
qwertyMath |
Надо доказать вначале, что x и y взаимно просты.
С учётом $%x^3+y=x(x^2+y^2)-y(xy-1)$%, на $%x^2+y^2$% должно делиться число $%y(xy-1)$%, а потому и $%xy-1$%, поскольку $%y$% и $%x^2+y^2$% не могут иметь общих простых делителей. Из соображений симметрии, можно положить $%x\le y$%, и тогда $%xy-1\le y^2-1 < x^2+y^2$%. Так как меньшее натуральное число не делится на большее, из этого следует, что $%xy=1$%.