|
Как быстрее вычислить приведённую ниже сумму? $$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{3}{2\cdot 5}+\dfrac{5}{5\cdot 10}+\dfrac{7}{10\cdot 17}+\dfrac{9}{17\cdot 26}+\dfrac{11}{26\cdot 37}+\dfrac{13}{37\cdot 50}+\dfrac{15}{50\cdot 65}+\dfrac{17}{65\cdot 82}+\dfrac{19}{82\cdot 101}$$ По индукции лего доказать, что получится $%\;\dfrac{n^2}{n^2+1},\;$% где $%n$% равно количеству слагаемых в сумме. Однако в 7 классе с индукцией знакомы не все. Может, есть более простой способ? задан 3 Ноя '22 3:31 
Казвертеночка |
|
$%\Large ...= \frac{2-1}{1 \cdot 2} + \frac{5-2}{2 \cdot 5} + \frac{10-5}{5 \cdot 10}+... + \frac{101-82}{82 \cdot 101}= \\ \Large =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{82}-\frac{1}{101}=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$% отвечен 3 Ноя '22 6:38 
Rams @Rams, большое спасибо!
(3 Ноя '22 11:38)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка, посмотрите такую тему, как телескопические ряды, к которой относится эта сумма... это весьма типовое преобразование...
(3 Ноя '22 16:18)
all_exist
@all_exist, да, телескопические ряды — крайне интересная штука, почему-то напомнившая мне анекдот про AIDS и ADIDAS.
(11 Ноя '22 2:33)
Казвертеночка
|