1
1

Как быстрее вычислить приведённую ниже сумму?

$$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{3}{2\cdot 5}+\dfrac{5}{5\cdot 10}+\dfrac{7}{10\cdot 17}+\dfrac{9}{17\cdot 26}+\dfrac{11}{26\cdot 37}+\dfrac{13}{37\cdot 50}+\dfrac{15}{50\cdot 65}+\dfrac{17}{65\cdot 82}+\dfrac{19}{82\cdot 101}$$

По индукции лего доказать, что получится $%\;\dfrac{n^2}{n^2+1},\;$% где $%n$% равно количеству слагаемых в сумме.

Однако в 7 классе с индукцией знакомы не все. Может, есть более простой способ?

задан 3 Ноя '22 3:31

10|600 символов нужно символов осталось
4

$%\Large ...= \frac{2-1}{1 \cdot 2} + \frac{5-2}{2 \cdot 5} + \frac{10-5}{5 \cdot 10}+... + \frac{101-82}{82 \cdot 101}= \\ \Large =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{82}-\frac{1}{101}=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$%

ссылка

отвечен 3 Ноя '22 6:38

изменен 3 Ноя '22 6:39

@Rams, большое спасибо!

(3 Ноя '22 11:38) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, посмотрите такую тему, как телескопические ряды, к которой относится эта сумма... это весьма типовое преобразование...

(3 Ноя '22 16:18) all_exist

@all_exist, да, телескопические ряды — крайне интересная штука, почему-то напомнившая мне анекдот про AIDS и ADIDAS.

(11 Ноя '22 2:33) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×340
×107
×65
×18
×1

задан
3 Ноя '22 3:31

показан
139 раз

обновлен
11 Ноя '22 2:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru