Посчитать предел. $$ \lim_{n\to\infty} (\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})^n $$ (a>0, b>0)

задан 3 Ноя '22 22:32

1

Смотреть тут, тут, тут, тут и тут.

(3 Ноя '22 22:40) Rene
2

ну, второй замечательный предел можно выделить...

(3 Ноя '22 22:52) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вспомним, что $%\sqrt[n]{x} = 1 + \frac{1}{n} \ln{x} + O\big (\frac{1}{n^2}\big )$%.

Тогда всё сводится ко второму замечательному пределу, и мы получаем следующее: $$\lim _ {n→∞} \Bigg ( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \Bigg) ^ n = \lim _ {n→∞} \Bigg (1 + \frac{1}{n} \Big ( \frac{\ln{a} + \ln{b}}{2} \Big ) + O\Big (\frac{1}{n^2}\Big ) \Bigg) ^ n = e^{\frac{1}{2} \ln{ab}} = \sqrt{ab}.$$

ссылка

отвечен 11 Янв 13:44

Точнее $% \sqrt a \sqrt b$%: для комплексных чисел произведение корней не равно корню произведения.

(11 Янв 14:12) Markiyan Hirnyk
1

@Markiyan Hirnyk: в условии дано, что a, b -- вещественные положительные.

(11 Янв 15:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,289
×869
×747
×174
×4

задан
3 Ноя '22 22:32

показан
165 раз

обновлен
11 Янв 15:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru