Найти те значения а>0 для которых существуют точки плоскости с координатами (х;у) удовлетворяющие условиям системы $$x^2+y^2=1-a^2 \\\ x+y>a$$

задан 17 Ноя '13 11:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Графиком $%x^2+y^2=1-a^2$% в данном случае будет окружность, так как значение $%a=1$% явно не подходит. Наибольшее значение величины $%x+y$% у точек окружности будет наблюдаться, очевидно, у самой верхней из прямых вида $%x+y=c$%, касающейся окружности в точке, лежащей на перпендикуляре к этой прямой, то есть при $%x=y > 0$%. Неравенство $%x+y > a$% при этом означает, что $%2x > a$%, то есть $%4x^2 > a^2$%. Поскольку $%2x^2=1-a^2$%, приходим к неравенству $%2-2a^2 > a^2$%, то есть $%a\in(0;\sqrt{2/3})$%.

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 12:13

я не совсем поняла объяснение как мы приходим к такому неравенству?

(17 Ноя '13 15:00) Amalia

@Amalia: максимальное значение величина $%x+y$% принимает в точке касания. При этом $%x=y$%, поэтому из первого уравнения $%2x^2=1-a^2$%. Тогда $%4x^2=2(1-a^2)$%, и оно должно быть больше $%a^2$% ввиду $%x+y=2x > a$%. Тут ничего кроме арифметики за этим не стоит.

(17 Ноя '13 15:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо рассмотреть окружность радиуса $%R=\sqrt{1-a^2}$%, и прямую $%y=-x+a$%. Неравенство задает полуплоскость вправо-вверх от прямой). Рассмотреть вариант, когда прямая касается окружности (расстояние до начала координат равно радиусу, координаты точки $%x=y=a\cdot \sqrt2/2$%. Решить уравнение $% R=a\cdot \sqrt2/2$%. Ответ $%a<\sqrt6/3, a>0$%.

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 12:20

изменен 17 Ноя '13 22:18

@Lyudmyla: у Вас тут небольшая опечатка. Прямая имеет уравнение $%y=a-x$%.

(17 Ноя '13 12:35) falcao

Cпасибо, исправила.

(18 Ноя '13 21:19) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×458
×98

задан
17 Ноя '13 11:26

показан
648 раз

обновлен
18 Ноя '13 21:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru