В четырёхугольной призме, в основаниях которой лежат параллелограммы на противоположных боковых гранях лежат отрезки $%KM$% и $%LN$% . Определить наибольший объем тетраэдра $%KMLN$% если объем призмы $%V_p=216$%

в условии я не совсем у верен в слове "противоположных"(где говорится про боковые грани, но отрезки лежат на боковых это точно)

задан 17 Ноя '13 13:07

изменен 17 Ноя '13 20:38

ASailyan's gravatar image


15.4k829

10|600 символов нужно символов осталось
2

Построим параллелепипед $%FMEKLHNG.$% Пусть $%h$% рассотояние плоскостей $%ABC$% и $%A_1B_1C_1$%.

$% V_{KMLN}=\frac13V_{FMEKLHNG}=\frac13 S_{FMEK}\cdot h\le \frac13 S_{ABCD}\cdot h=72.$% А когда $%LN$% совпадает с $%A_1C_1,$% а $%KM$% совпадает с $%BD,$% то параллелепипед $%FMEKLHNG$% совпадает с $%ABCDA_1B_1C_1D_1$%, и $%V_{KMLN}=72$%. Это значит , что наибольшее значение обьема тетраэдра $%72.$%

alt text

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 19:02

изменен 17 Ноя '13 19:07

Тетраэдр $%KMLN$% получается из $%FMEKLHG$% если отсекать $%4 $% тетраэдра $%LFKM,NKME,GKLM$% и $%LNHM.$% Обьем каждому из них равен $%\frac 1 6 V_{FMEKLHG},$% потому что у них высоты равны $%h,$% а основания- $%\frac 12 S_{FMEK}.$% Получется $%V_{KMLN}=V_{FMEKLHG}-4\cdot \frac13 \cdot \frac 12 S_{FMEK} h=\frac13 V_{FMEKLHG}$%

(17 Ноя '13 20:04) ASailyan

"И отрезки же не обязательно будут располагаться так, что соединив их концы будет такая призма?"

Какими бы не были $%KM$% и $%LN$% можно построить параллелепипед $%KMEKLHNG.$%

(17 Ноя '13 20:18) ASailyan

Большое спасибо за ответы!

(17 Ноя '13 21:03) Dragon65

@ASailyan: мне кажется, тут кое-какие вещи нуждаются в прояснении. Если параллелепипед строить, проектируя рёбра параллельно боковым, то проекция отрезка $%KM$% может не пересечься с $%LN$%. Если же проектирование идёт по линии, соединяющей середины отрезков, то параллелограммы могут выйти за пределы призмы. Я не сомневаюсь, что решение в основе своей верно, но какие-то слова здесь, по всей видимости, нужно добавить. Из общих соображений понятно, что если отрезки параллельно перемещать, то объём не поменяется, но ссылки на принцип Кавальери, наверное, не очень желательны.

(18 Ноя '13 3:05) falcao

@falcao, Вы не согласны с тем, что достаточно доказать это утверждение "если $%KM$% и $%LN$% две не параллельные отрезки концы которых лежат на параллелограмме $%ABCD$%, тогда площадь параллелограмма диагонали которой равны и параллельны $%KM$% и $%LN$%, не больше $%S_{ABCD}$%"? В моем решении использовала только это утверждение, я сравнивала площади, а не обьемы.

(18 Ноя '13 12:14) ASailyan

Последнее утверждение очевидно. Но если есть необходимость я сделаю рисунок. (Мне легче обяснить мат. симвилами и рисунками, чем словами).

(18 Ноя '13 12:35) ASailyan

@ASailyan: с содержательной точки зрения всё правильно. Я ставил вопрос только о деталях оформления. Мне показалось, что здесь нужны дополнительные пояснения. В решении строится вспомогательный параллелепипед для отрезков $%KM$%, $%LN$%, и мой вопрос был о способе его построения. Здесь не обязательно всё описывать полностью -- достаточно указать способ проектирования.

(18 Ноя '13 17:34) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
17 Ноя '13 13:07

показан
457 раз

обновлен
18 Ноя '13 17:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru