Определить при каких значения параметра система уравнений $$(x-y)^2=6a-14 \\\ x^2+y^2=3(2+a)$$ имеет в точности два решения.

задан 17 Ноя '13 17:29

изменен 18 Ноя '13 19:24

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Мне кажется, здесь полезно исходить из того, что вместе с каждым решением $%(x,y)$%, не только $%(-x,-y)$% будет решением, но ещё и $%(y,x)$%. Поскольку система должна иметь решение $%(x,y)$%, отличное от $%(0,0)$%, пара $%(-x,-y)$% будет представлять второе решение, а $%(y,x)$% совпадает с одной из предыдущих пар. Это значит, что $%y=x$% или $%y=-x$%.

Нетрудно заметить, что $%(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=6a+12$%, откуда $%(x+y)^2=6a+12-(x-y)^2=6a+12-(6a-14)=26$%. Следовательно, случай $%y=-x$% невозможен, и подходит только случай $%x=y$%. Это возможно только при $%6a-14=0$%, то есть $%a=7/3$%. Но здесь требуется ещё проверка, что это значение подходит, то есть что решений получится ровно два. Проверяется это несложно, так как одно уравнение сразу превращается в $%x=y$%, а из другого будет следовать, что $%x^2=13/2$%, то есть решений действительно два: $%(c,c)$% и $%(-c,-c)$%, где $%c=\sqrt{13/2}=\sqrt{26}/2$%.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вычтем первое из второго:

$$x^2 + y^2 = 6 + 3a $$ $$2xy = 20 - 3a$$

Как известно, при любых действительных $%x$%, $%y$% $%|2xy| <= x^2 + y^2$%. Понятно, что уравнение всегда имеет чётное число решений, если нуль не решение (если подходят $%(х, у)$%, то подходят и $%(-х, -у)$%), поэтому нам нужно выполнение равенства $%x^2 + y^2 = 2xy$%, т.е. $%6 + 3а = 20 - 3а$% и $%а = 7/3$%, либо выполнение равенства $%x^2 + y^2 = -2xy$% т.е. $%6 + 3а = -20 + 3а$%, но такого не бывает.

Остаётся только первый случай. $%а = 7/3$%, решение либо $%( sqrt(13), sqrt(13) )$%, либо $%( -sqrt(13), -sqrt(13) )$%.

ссылка

отвечен 17 Ноя '13 18:27

изменен 18 Ноя '13 19:26

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×432
×278

задан
17 Ноя '13 17:29

показан
1363 раза

обновлен
18 Ноя '13 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru