$%\cos3y+cos^2y+12\cos y - 9=0$%

$%\sqrt{ 3 - 4\cos y \cdot \cos x -4\sin x}\le\sqrt6$%

задан 17 Ноя '13 18:46

изменен 18 Ноя '13 2:05

falcao's gravatar image


193k1632

10|600 символов нужно символов осталось
0

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $%\cos3y=4\cos^3y-3\cos y$%. Тогда после замены $%t=\cos y$% первое условие примет вид $%4t^3+t^2+9t-9=0$%. Подбором находится рациональный корень $%t=3/4$%, и возникает разложение на множители $%(4t-3)(t^2+t+3)=0$%. Других действительных корней нет, так как квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант.

Значение $%y$% тем самым найдено, а после подстановки значения косинуса $%y$% в неравенство получится $%0\le3-3\cos x-4\sin x\le6$%, то есть $%|3\cos x+4\sin x|\le3$%. Разделим обе части неравенства на $%5$%, полагая $%\alpha=\arcsin\frac35$%. Тогда $%\cos\alpha=4/5$%, и неравенство переписывается в виде $%|\sin(x+\alpha)|=|\sin x\cdot\frac45+\cos x\cdot\frac35|\le\frac35$%. Далее рассмотрим единичную окружность и проведём прямые $%y=\pm\frac35$%. Угол $%x+\alpha$% при этом должен располагаться на одной из дуг в пределах полосы между прямыми. Дуги переходят друг в друга при повороте на угол $%\pi$%, откуда можно сделать вывод, что $%-\alpha+\pi k\le x+\alpha\le\alpha+\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. После упрощений получается ответ.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 2:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×799

задан
17 Ноя '13 18:46

показан
411 раз

обновлен
18 Ноя '13 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru