Здравствуйте!

Задача:

В треугольнике KLM проведены биссектрисы LE и KF углов KLM и LKM соответственно, которые пересекаются в точке O. Известно,что KL = LE, периметр треугольника KLM равен 34, LO = 3OE. Найдите ML.

Спасибо.

задан 17 Ноя '13 20:42

изменен 18 Ноя '13 19:23

Deleted's gravatar image


126

1

$%ML = 13.5$%...

(17 Ноя '13 21:53) all_exist

@all_exist, ответ верный, он и в книжке есть. А как решить?

(18 Ноя '13 16:02) ВладиславМСК

@ВладиславМСК, он и в книжке есть - ((( я даже не знаю из какой книжки Вы штампуете топики с задачами...

(27 Ноя '13 2:05) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Один из способов решения такой: применить известное свойство биссектрисы. Тогда $%KL:KE=LO:LE=3$%. Положим $%KE=y$%, $%KL=3y$%. Далее, по тому же свойству, применённому к другой биссектрисе, выполняется равенство $%KL:ML=KE:EM$%. Отсюда по свойствам пропорции следует, что $%ML:EM=KL:KE=3$%. Положим $%EM=z$%, $%ML=3z$%.

Периметр основного треугольника равен $%4(y+z)$%, откуда становится известным $%y+z$%. Второе уравнение, связывающее $%y$% и $%z$%, можно получить, например, на основе теоремы синусов. В равнобедренном треугольнике $%KLE$% известны отношения длин сторон, что позволяет найти синус угла при вершине, а также косинус. Тогда становится известен синус двойного угла, то есть синус угла при вершине $%L$% основного треугольника. Поскольку синус угла при вершине $%K$% также можно считать известным, отношение длин сторон $%ML:MK$%, равное $%3z:(y+z)$%, выражаем через синусы. Отсюда находится $%ML=3z$%.

Можно вместо теоремы синусов опираться на теорему Пифагора, строя высоту $%LH$% треугольника $%KLM$%. Точка $%H$% будет серединой $%KE$%, и тогда к двум прямоугольным треугольникам с общим катетом $%LH$% применяем теорему Пифагора, составляя второе уравнение.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 18:05

Спасибо. .

(21 Ноя '13 15:03) ВладиславМСК
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,419

задан
17 Ноя '13 20:42

показан
1441 раз

обновлен
27 Ноя '13 2:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru