геометрия - В треугольнике KLM проведены биссектрисы углов, найти ML

Один из способов решения такой: применить известное свойство биссектрисы. Тогда $%KL:KE=LO:LE=3$%. Положим $%KE=y$%, $%KL=3y$%. Далее, по тому же свойству, применённому к другой биссектрисе, выполняется равенство $%KL:ML=KE:EM$%. Отсюда по свойствам пропорции следует, что $%ML:EM=KL:KE=3$%. Положим $%EM=z$%, $%ML=3z$%.

Периметр основного треугольника равен $%4(y+z)$%, откуда становится известным $%y+z$%. Второе уравнение, связывающее $%y$% и $%z$%, можно получить, например, на основе теоремы синусов. В равнобедренном треугольнике $%KLE$% известны отношения длин сторон, что позволяет найти синус угла при вершине, а также косинус. Тогда становится известен синус двойного угла, то есть синус угла при вершине $%L$% основного треугольника. Поскольку синус угла при вершине $%K$% также можно считать известным, отношение длин сторон $%ML:MK$%, равное $%3z:(y+z)$%, выражаем через синусы. Отсюда находится $%ML=3z$%.

Можно вместо теоремы синусов опираться на теорему Пифагора, строя высоту $%LH$% треугольника $%KLM$%. Точка $%H$% будет серединой $%KE$%, и тогда к двум прямоугольным треугольникам с общим катетом $%LH$% применяем теорему Пифагора, составляя второе уравнение.