Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объём.

задан 17 Ноя '13 23:07

изменен 18 Ноя '13 19:43

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ основания длиной $%2a$% и одно из боковых рёбер. Гипотенузой будет диаметр описанной сферы. Из теоремы Пифагора получаем равенство $%4a^2+b^2=4$%. Площадь основания пропорциональна $%a^2$% (коэффициент здесь не важен), поэтому объём пропорционален $%a^2b$%. Эту величину требуется максимизировать при имеющихся ограничениях.

Рассмотрим функцию $%f(b)=a^2b=(1-b^2/4)b=b-b^3/4$%, где $%b\in(0;2)$%. Производная $%f'(b)=1-3b^2/4$% обращается в ноль при $%b=2/\sqrt{3}$%. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в рассматриваемой точке значение функции будет наибольшим. Зная $%b$%, выражаем через него $%a$%.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 0:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть эта призма $%ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$%, $%O_1$% и $%О_2$% центры оснований, а $%O$%центр сферы.

$%O_1O_2=b, AO_1=AB=a.$% Из треугольника $%AO_1O$% по теореме Пифагора $%a^2+\frac{b^2}4=1$%

$%V_{пр}=\frac{3\sqrt3}2a^2\cdot b= \frac{3\sqrt3}2(1-\frac{b^2}4)\cdot b=\frac{3\sqrt3}8b(4-b^2),$% где $%b\in (0;2).$%

Найдем наибольшее значение $%f(b)=4b-b^3 $%в промежутке $%(0;2).$%

$%f^{'}(b)=4-3b^2.$%

$%f^{'}(b)=0 $% в точке $% b=\frac2{\sqrt3}$%

$%f^{'}(b)>0 $% при $% b<\frac2{\sqrt3}$%, $%f^{'}(b)<0 $% при $% b>\frac2{\sqrt3}.$% $%max f(b)=f(\frac2{\sqrt3}).$%

Следовательно $%maxV_{пр}=\frac{3\sqrt3}2(1-\frac14\cdot (\frac2{\sqrt3})^2)\cdot \frac2{\sqrt3}=2$%

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 0:21

изменен 18 Ноя '13 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,022
×29

задан
17 Ноя '13 23:07

показан
1817 раз

обновлен
18 Ноя '13 0:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru