$$4log_4(6x^2 + 3/(8x^2) +13)=2cos(5π/(14+sinπx)) +7 $$

задан 18 Ноя '13 1:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как обычно бывает в таких задачах, нужно опираться на неравенства.

Величина под знаком логарифма имеет вид $%6(x^2+1/(4x)^2)+13$%. Выражение в скобках равно $%(x-1/(4x))^2+1/2\ge1/2$%, где равенство достигается при $%x=\pm1/2$% и только при этом условии. Значит, выражение под знаком логарифма не меньше $%16$%, а левая часть не меньше $%8$%.

Теперь исследуем правую часть. Ясно, что $%13\le14+\sin\pi x\le15$%, и ввиду положительности рассматриваемого числа можно перейти к обратным величинам: $$\frac{5\pi}{13}\ge\frac{5\pi}{14+\sin\pi x}\ge\frac{\pi}3.$$ Ввиду убывания косинуса на $%[0;\pi]$% можно прийти к выводу, что $$\cos\frac{5\pi}{14+\sin\pi x}\le\cos\frac{\pi}3=\frac12,$$ поэтому правая часть не больше $%8$%.

Таким образом, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $%8$%. Это происходит в том и только в том случае, когда $%x=\pm1/2$% для левой части и $%\sin\pi x=1$% для правой части (в остальных случаях неравенства становятся строгими). Отсюда ясно, что уравнение имеет в точности одно решение $%x=1/2$%.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 1:49

Sorry) набирала решение "не глядя" - и долго.. уже удалила =))
( поленилась открыть в другой вкладке - и проверить, не появилось ли чье-либо решение..=))

(18 Ноя '13 2:08) ЛисаА

@falcao, спасибо за ответ) @ЛисаА, благодарю, что отозвались на мой вопрос)

(18 Ноя '13 14:36) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×810
×467
×226

задан
18 Ноя '13 1:10

показан
683 раза

обновлен
18 Ноя '13 14:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru