|
$$4log_4(6x^2 + 3/(8x^2) +13)=2cos(5π/(14+sinπx)) +7 $$ задан 18 Ноя '13 1:10 
Uchenitsa |
|
Как обычно бывает в таких задачах, нужно опираться на неравенства. Величина под знаком логарифма имеет вид $%6(x^2+1/(4x)^2)+13$%. Выражение в скобках равно $%(x-1/(4x))^2+1/2\ge1/2$%, где равенство достигается при $%x=\pm1/2$% и только при этом условии. Значит, выражение под знаком логарифма не меньше $%16$%, а левая часть не меньше $%8$%. Теперь исследуем правую часть. Ясно, что $%13\le14+\sin\pi x\le15$%, и ввиду положительности рассматриваемого числа можно перейти к обратным величинам: $$\frac{5\pi}{13}\ge\frac{5\pi}{14+\sin\pi x}\ge\frac{\pi}3.$$ Ввиду убывания косинуса на $%[0;\pi]$% можно прийти к выводу, что $$\cos\frac{5\pi}{14+\sin\pi x}\le\cos\frac{\pi}3=\frac12,$$ поэтому правая часть не больше $%8$%. Таким образом, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $%8$%. Это происходит в том и только в том случае, когда $%x=\pm1/2$% для левой части и $%\sin\pi x=1$% для правой части (в остальных случаях неравенства становятся строгими). Отсюда ясно, что уравнение имеет в точности одно решение $%x=1/2$%. отвечен 18 Ноя '13 1:49 
falcao Sorry) набирала решение "не глядя" - и долго.. уже удалила =))
(18 Ноя '13 2:08)
ЛисаА
|