дискретная-математика - Отношения множеств

Термин "отношения множеств" некорректен. Ведь в отношении находятся не множества, а их элементы. Правильно говорить об отношениях НА множестве (или на множествах, имея в виду, что на каждом из множеств может задаваться своё отношение).

1) Если C1 и C2 не удовлетворяют условию, то есть элемент x1 в C1 \ C2 и элемент x2 в C2 \ C1, причём в пересечении C1 и C2 есть элемент x. Тогда (x1,x) принадлежит E1, (x,x2) принадлежит E2. Значит, обе пары принадлежат E1UE2. Отсюда (x1,x2) принадлежит E1UE2. Если эта пара из E1, то x2 должно принадлежать C1, и получается противоречие. Аналогично для случая, когда пара принадлежит E2.

2) Пример здесь легко строится. Надо только иметь в виду, что глубокого математического смысла в нём нет. Здесь просто перемешали несколько математических понятий в чисто учебных целях.

Самые простые примеры отношений строгого порядка -- это "меньше" и "больше" на числовой прямой. Их и возьмём в качестве L и M. Если x, z -- произвольные числа, то всегда найдётся число y, большее каждого их них. Достаточно положить y=max(x,z)+1. В этом случае x < y и y > z, то есть (x,y) принадлежит L и (y,z) принадлежит M. Значит, (x,z) принадлежит LoM. Здесь (x,z) -- произвольная пара, поэтому LoM=R^2 есть полное отношение. А оно является эквивалентностью (любые два элемента эквивалентны; класс эквивалентности всего один).