Добрый день! Есть 2 вопроса:

  1. Пусть A — непустое множество, E1 и E2 — такие отношения эквивалентности на A, что E1 ∪ E2 также является отношением эквивалентности, C1 — класс эквивалентности отношения E1, C2 — класс эквивалентности отношения E2. Докажите, что C1 ∩ C2 = ∅, или C1 ⊆ C2, или C2 ⊆ C1.
  2. Существует ли непустое множество A и отношения строгого порядка L, M ⊆ A × A, такие что отношение R = L ◦ M — отношение эквивалентности?

Буду очень признателен за помощь :)

задан 20 Ноя '22 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Термин "отношения множеств" некорректен. Ведь в отношении находятся не множества, а их элементы. Правильно говорить об отношениях НА множестве (или на множествах, имея в виду, что на каждом из множеств может задаваться своё отношение).

1) Если C1 и C2 не удовлетворяют условию, то есть элемент x1 в C1 \ C2 и элемент x2 в C2 \ C1, причём в пересечении C1 и C2 есть элемент x. Тогда (x1,x) принадлежит E1, (x,x2) принадлежит E2. Значит, обе пары принадлежат E1UE2. Отсюда (x1,x2) принадлежит E1UE2. Если эта пара из E1, то x2 должно принадлежать C1, и получается противоречие. Аналогично для случая, когда пара принадлежит E2.

2) Пример здесь легко строится. Надо только иметь в виду, что глубокого математического смысла в нём нет. Здесь просто перемешали несколько математических понятий в чисто учебных целях.

Самые простые примеры отношений строгого порядка -- это "меньше" и "больше" на числовой прямой. Их и возьмём в качестве L и M. Если x, z -- произвольные числа, то всегда найдётся число y, большее каждого их них. Достаточно положить y=max(x,z)+1. В этом случае x < y и y > z, то есть (x,y) принадлежит L и (y,z) принадлежит M. Значит, (x,z) принадлежит LoM. Здесь (x,z) -- произвольная пара, поэтому LoM=R^2 есть полное отношение. А оно является эквивалентностью (любые два элемента эквивалентны; класс эквивалентности всего один).

ссылка

отвечен 20 Ноя '22 19:33

Спасибо большое! Про терминологию тоже усвоил :)

Хорошего вечера!

(20 Ноя '22 22:27) fedormipt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,067
×737
×344
×106

задан
20 Ноя '22 18:54

показан
313 раз

обновлен
20 Ноя '22 22:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru