2
1

Все натуральные делители некоторого натурального числа $%n$% выписаны в строку в порядке возрастания: $%1=d_1 < d_2 < d_3 <\;\dots\; < n.$%

Может ли в этой строке найтись шесть делителей идущих подряд, таких что для каждого из них, начиная со второго, выполняется: $%d_k=\left\lfloor\dfrac{3}{2}d_{k-1}\right\rfloor ?$%

(Числа с цепочкой из пяти таких делителей существуют. Рассмотрите, например, делители 2, 3, 4, 6, 9 числа 36.)

задан 21 Ноя '22 1:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Все идущие подряд делители (назовем первый $%d_s$%) должны быть нечетными. В противном случае мы окажемся в ситуации, когда в строке должны появиться и $%d_s$%, и $%2d_s$%, что возможно только при $%d_s=2$%. В противном случае,

$${\frac{3}{2}}d_{s}-1\lt \left\lfloor{\frac{3}{2}}d_{s}\right\rfloor$$

$${\frac{9}{4}}d_{s}-2\lt \left\lfloor{\frac{3}{2}}\left\lfloor{\frac{3}{2}}d_{s}\right\rfloor\right\rfloor.$$

Таким образом, если $%d_s>2$%, то $%d_{s+2}\gt {\frac{9}{4}}d_{s}-2\gt 2d_{s}$%. Один из делителей был пропущен, если $%2$% делит $%n$%. Я подумал, что было бы неплохо попробовать что-то чуть выше степеней двойки, поэтому $%d_s=129$% подходит и последовательность: $$193, 289, 433, 649, 973, 1459.$$

$%193$% — простое число, $%289=17^2$%, $%433$% — простое число, $%649=11\cdot59$%, $%973 = 7\cdot139$%. Последнее все портит, потому что $%129\cdot7=903$% должно быть в строке, а его нет.

$%d_s=513$% дает последовательность $$769, 1153, 1729, 2593, 3889, 5833, 8749, 13123.$$

Но $%513$% — это проблема, потому что оно делится на $%3$%, а $%1539$% там явно нет. Как насчет $%d_s=769$%, это простое число? Так же и $%1153$%. $%1729=7\cdot13\cdot19$%, что означает $%7\cdot769=5383$%, так что это еще один промах. ($%2593$% — простое число, $%3889$% — простое число, поэтому возможны пять делителей между $%769$% и $%3889$%.)

$%d_s=2049$% делится на $%3$%.

$%d_s=4097$% делится на $%17$%, но следующее число делится на $%5$%.

$%d_s=65537$% — простое число, но $%98305$% снова делится на $%5$%.

Подобная эвристика не сработала, поэтому можно попробовать написать код, сосредоточив внимание на последовательностях, ни один элемент которых не имеет малого/маленького делителя.


Наименьшее, что он находит: $$449, 673, 1009, 1513, 2269, 3403.$$

Из них $%1513=17\cdot89$% и $%3403=41\cdot83$%, а остальные четыре — простые. Так что никаких малых делителей. Но $%17\cdot41=697$% тоже должен быть делителем.

Первый рабочий пример — последовательность $$13441, 20161, 30241, 45361, 68041, 102061.$$ Все шесть — простые! Таким образом, их произведение $%2581385856168893159440078501$% не только обладает желаемым свойством, но и $%13441$% является его наименьшим нетривиальным делителем.

В следующих примерах есть одно не простое число:

$%20161\cdot30241\cdot45361\cdot68041\cdot102061\cdot153091$% (последнее делится на $%29$%)

$%27329\cdot40993\cdot61489\cdot92233\cdot138349\cdot207523$% (третье делится на $%17$%)

а вот пример с двумя не простыми числами:

$$91393\cdot137089\cdot205633\cdot(167\cdot1847)\cdot462673\cdot(37\cdot18757)$$

Интересный пример, который содержит число только с относительно небольшими множителями:

$$434561\cdot651841\cdot977761\cdot(11^2\cdot17\cdot23\cdot31)\cdot2199961\cdot3299941$$

Конечно, любой из этих примеров можно преобразовать в другой пример, умножив его на простое число, большее любого в последовательности. Первый пример можно расширить с помощью $%153091=29\cdot5279$%, чтобы получить семь последовательных делителей. Другие примеры семи последовательных делителей начинаются с $%1319809$%, $%1655809$% и $%1767809$%.


Шесть простых чисел, вероятно, максимум, который можно найти. В моем примере $%13441\equiv1\pmod{32}$%. Созвездие простых чисел в таком случае имеет вид $$[32k+1,48k+1,72k+1,108k+1,162k+1,243k+1]$$

по модулю $%7$%, это указывает, что нам нужно $%7∤k$%.

ссылка

отвечен 21 Ноя '22 19:08

изменен 21 Ноя '22 19:36

1

@Rene: круто! Я вчера примерно этим же путём шёл, но до примера с 6 простыми не добрался. И вообще не был уверен, что он существует.

(21 Ноя '22 21:29) falcao

@Rene, действительно, круто! Спасибо большое-пребольшое!

(22 Ноя '22 0:52) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×340
×302
×80
×52
×3

задан
21 Ноя '22 1:45

показан
108 раз

обновлен
22 Ноя '22 0:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru