Известно, что корнями многочлена x^2012+a_(2011 ) x^2011+ a_2010 x^2010+ …+ a_2 x^2+ a_1 x+ a_0 являются числа: 1, 2, 3, . . . , 2010, 2011. Запишите условия, при которых данный многочлен имеет 2012 различных корней.

задан 18 Ноя '13 18:19

изменен 18 Ноя '13 19:40

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Многочлен $%f(x)$% из условия задачи делится на двучлены $%x-1$%, $%x-2$%, ..., $%x-2011$%, а также на их произведение. В результате получается равенство вида $$f(x)=(x-1)(x-2)\ldots(x-2011)(x-\lambda),$$ где $%\lambda$% -- какое-то число. В задаче требуется записать условие, при котором $%\lambda$% не совпадает ни с одним из чисел от $%1$% до $%2011$%. Подставим значение $%x=2012$% в многочлен. Получится $%f(2012)=2011!(2012-\lambda)$%. Тогда в интересующем нас случае частное $%f(2012)/2011!$% не должно быть равно ни одному из чисел списка $%1$%, $%2$%, ..., $%2011$% (здесь $%2012-\lambda$% принимает те же "запрещённые" значения, что и $%\lambda$%).

Поскольку $%f(2012)$% выражается через коэффициенты, это даёт требуемое условие.

В принципе, можно подойти и по-другому: если какое-то из чисел от $%1$% до $%2011$% является кратным корнем многочлена, то оно является корнем производной многочлена, и наоборот. Записав условие, что $%f'(x)$% не равно нулю ни при каком $%x$% из указанного списка, мы получим ещё одну из форм ответа.

А можно поступить ещё проще: по теореме Виета, сумма всех корней многочлена равна $%-a_{2011}$%. Это позволяет выписать условие, исключающее возможность совпадения $%\lambda$% с каким-либо из оставшихся корней.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 18:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,133
×326

задан
18 Ноя '13 18:19

показан
462 раза

обновлен
18 Ноя '13 18:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru