Найдите наименьшее значение выражения:

$%\sqrt {{x^2-4x+8}} + \sqrt {{ x^2+2x+5}}$%

где x - произвольное действительное число. Без производной.

задан 18 Ноя '13 20:54

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно рассуждать геометрически. Здесь речь идёт о сумме $%\sqrt{(x-2)^2+2^2}+\sqrt{(x+1)^2+2^2}$%. Это не что иное как сумма расстояний от точки $%(x,0)$% до точек $%A(-1;2)$% и $%B(2;2)$%. На геометрическом языке это означает нахождение точки $%C$% на оси абсцисс с минимальной суммой длин $%AC+CB$%. Если рассмотреть точку $%B'(2;-2)$%, симметричную $%B$% относительно этой оси, то $%AC+CB=AC+CB'\ge AB'$%, и равенство достигается в случае, когда $%C$% есть пересечение отрезка $%AB'$% с осью абсцисс. Наименьшее значение будет равно $%AB'=5$%. Оно достигается при $%x=1/2$%.

Можно было изначально интерпретировать функцию как сумму расстояний от $%(x;0)$% до $%A$% и $%B'$% -- тогда сразу возникает отрезок.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 21:12

Гениально. Спасибо!

(18 Ноя '13 21:39) student
10|600 символов нужно символов осталось
1

Среднее арифметическое 2-х неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического, поэтому $%\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2+2x+5}>=2\cdot \sqrt{\sqrt{x^2-4x+8} \cdot \sqrt{x^2+2x+5}}$%, причем знак равенства (минимальное значение) достигается при равенстве обоих чисел, т.е. $%\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{x^2+2x+5}$%, откуда $%6x=3, x=0.5$%.

ссылка

отвечен 19 Ноя '13 0:39

1

@Lyudmyla: это рассуждение не проходит. Здесь же никак не исследуются свойства произведения в правой части, а оно зависит от $%x$%. Достаточно чуть изменить данные -- например, вместо слагаемого $%5$% взять $%10$%, и тогда уже минимум достигается при не равных друг другу значениях квадратных корней.

(19 Ноя '13 0:58) falcao

Точно не подходит. Проверила. Спасибо. Надо подумать об этом еще.

(19 Ноя '13 22:46) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38

задан
18 Ноя '13 20:54

показан
976 раз

обновлен
19 Ноя '13 22:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru