|
Окружности радиусов $%R_1=4$% и $%R_2=9$% расположены по одну сторону от прямой $%l$% и касаются ее. Также дано, что эти окружности касаются друг друга внешним образом. Построена третья окружность, которая касается прямой $%l$% и касается внешним образом первых двух окружностей. Найти ее радиус. задан 18 Ноя '13 22:25 
student |
|
Общий факт: если окружности радиусов $%r_1$% и $%r_2$% внешним образом касаются друг друга, то расстояние $%d$% между точками проекции их центров на общую внешнюю касательную равно $%2\sqrt{r_1r_2}$%. Это легко следует из рассмотрения прямоугольного треугольника с гипотенузой $%r_1+r_2$% и катетами длиной $%d$% и $%|r_1-r_2|$% (вырожденный случай $%r_1=r_2$% ничему не мешает). Пусть $%A$%, $%B$% -- проекции центров окружностей на $%l$%. Из сказанного выше ясно, что $%AB=12$%. Пусть $%r$% -- радиус третьей окружности, и $%C$% -- проекция его центра на ту же прямую. Из тех же соображений, $%AC=4\sqrt{r}$%, $%CB=6\sqrt{r}$%. Тогда $%r$% находится из уравнения $%10\sqrt{r}=12$%. отвечен 18 Ноя '13 22:57 
falcao Полезный факт, буду знать его. Спасибо!
(19 Ноя '13 17:11)
student
|