|
Здравствуйте, дорогие товарищи форумчане! При рассмотрении лемм №№ 1-2 из 8 пункта §1 Курса дифференциального и интегрального исчисления Г.М.Фихтенгольца, которые сформулированы следующим образом: Лемма 1 (свойство плотности) Каковы бы ни были вещественные числа $$\alpha \:\: и \:\:\beta,$$ причем $$\alpha >\beta,$$ всегда найдется рациональное число $$r,$$ заключенное между ними $$\alpha >r> \beta$$ (а следовательно бесчисленное множество таких рациональных чисел).$$\\$$ Лемма 2 $$\\$$Пусть даны два вещественных числа $$\alpha \:\:и \:\:\beta$$ Если какое бы не взять число $$e>0,$$ числа $$\alpha \:\:и\:\: \beta$$ могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами $$s \:\:и \:\:s':$$ $$s'\ge \alpha \ge s,$$ $$s'\ge \beta \ge s$$ разность которых меньше $$e:$$ $$ s' - s < e,$$ то числа $$\alpha \:\:и \:\:\beta$$ необходимо равны. Возникает вопрос о свойствах этих самых рациональных границ $$s \:\:и\:\: s'.$$ $$s\:\: и\:\: s'$$ - это максимальное рациональное приближение к наименьшему из $$\alpha \:\: или\:\: \beta$$ с одной стороны и максимальное рациональное приближение к наибольшему из $$\alpha\:\: или \:\: \beta$$ с другой стороны? $$\\$$И если нет, то какой тогда смысл имеет данная лемма? $$\\$$ Заранее спасибо. задан 18 Ноя '13 22:40 
Незнайка |
|
Максимального (в смысле точности) рационального приближения к иррациональному числу не существует. Границы $%s$% и $%s'$% здесь "подвижны"; среди них нет "лучшей". Лемма 2 говорит о признаке равенства двух действительных чисел. Её можно переформулировать так. Для каждого числа рассмотрим отрезки с рациональными концами, которые его содержат. (На самом деле, всякое действительное число в терминах таких отрезков можно однозначно определить.) Если числа $%\alpha$% и $%\beta$% не равны, то это можно "почувствовать" в терминах таких отрезков с рациональными концами и сколь угодно малой длиной. То есть для всякого $%\varepsilon > 0$% можно построить такой отрезок $%[s;s']$% длиной меньше $%\varepsilon$%, что одно из чисел в него попадёт, а другое -- не попадёт. То есть смысл в том, что разницу между действительными числами (если они не равны) можно отследить на этом уровне. отвечен 19 Ноя '13 0:30 
falcao Но вся проблема понимания леммы сводится к тому, что мы из формулировки леммы ничего не знаем об этих отрезках с рациональными концами, потому что единственным ограничением этих границ является не превышение неотрицательного $%e$%, о свойствах которого, в свою очередь, нам ничего не сказано. Следовательно, если взять эти границы достаточно большими, то в интервал этих границ будет укладываться сколь угодно много не равных между собой действительных чисел. Каким же образом без указания конкретных свойств таковых границ мы заключаем о равенстве чисел?
(19 Ноя '13 22:03)
Незнайка
Тут всё очень просто: в лемме говорится о всех отрезках, а не только о "длинных". Обратите внимание на слова "какое бы ни взять число $%\varepsilon > 0$%". Ясно, что информация только о "длинных" отрезках ничего не даёт, но её просто не надо принимать во внимание, а надо смотреть на короткие отрезки, для достаточно малых значений $%\varepsilon$%. Если числа $%\alpha$% и $%\beta$% отличаются, скажем, на одну тысячную, то при рассмотрении отрезков длиной $%\varepsilon=10^{-4}$% разница будет зафиксирована.
(19 Ноя '13 22:14)
falcao
А разве будет доказательство считаться действительным, если в ряде случаев мы приходим к противоречию?
(19 Ноя '13 22:30)
Незнайка
Тут никакого противоречия не возникает. Разве тот факт, что два различных числа (например, 3 и 7) могут принадлежать одному и тому же отрезку (например, $%[1;9]$%) чему-либо противоречит?
(19 Ноя '13 22:35)
falcao
По предположению леммы, да, видимо, получается противоречие или же я чего-то недопонимаю. Рассмотрим приведенный выше пример: Числа 3 и 7 принадлежат к области вещественных чисел? Пожалуй, да. Границы 1 и 9 принадлежат к области рациональных чисел? Пожалуй, да. Произвольно взятое $%e$%, которое в данной ситуации будет, ну, предположим, 10, будет удовлетворять условиям неравенства? Пожалуй, да. Все остальные неравенства тоже выполняются. Однако, 3 не равно 7. Может суховато, но но смысл передает и ошибок невооруженным взглядом не видно.
(19 Ноя '13 22:48)
Незнайка
Вы не так понимаете смысл слова "произвольное". Если я говорю, что для произвольно взятого числа что-то выполняется, то это означает, что оно выполняется и для 10, и для 1, и для 1/10, и для чего угодно. Если же условие выполняется для числа 10, то смысл передаётся другой фразой: "для некоторого числа что-то выполняется". Чаще всего говорят в другой форме: не "для произвольного", а "для любого", или "для всех". Этот смысл передаётся при помощи логического символа $%\forall$% (квантор всеобщности).
(19 Ноя '13 23:02)
falcao
Простите, не заметил Ваш ответ за системой сворачивания комментариев. Но в формулировке леммы же нигде нет формулировки "для некоторых чисел...", а, напротив, присутствуют формулировки "какое бы ни взять". Разве из этого напрямую не следует некорректная запись формулировки леммы? Потому что если рассматривать все переменные данной леммы, с учетом налагаемых на них ограничений, как раз и получается то противоречие, которое приведено выше.
(25 Ноя '13 21:55)
Незнайка
Я именно об этом и говорю, что нет формулировки "для некоторых чисел", а есть "какое бы ни взять", то есть "для всех чисел". Здесь проще всего трактовать эти вещи в рамках логических кванторов. Их всего два: квантор существования $%\exists$% и квантор всеобщности $%\forall$%. В обсуждаемом случае, вне всякого сомнения, имеется в виду последнее. Проще всего перевести всё со "старомодного" языка на язык математической логики, и тогда путаница исчезнет.
(25 Ноя '13 22:11)
falcao
показано 5 из 8
показать еще 3
|