4
1

Доказать или опровергнуть, что если $%p^{6}+q^{6}+r^{6}=u^{6}+v^{6}+w^{6}$% верно для натуральных чисел, то и $%p^{2}+q^{2}+r^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}$% верно.

Пять наименьших решений, обладающих этим свойством:

  1. $$\begin{array}{l}{{160426514=3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}}}\\ {{854=3^{2}+19^{2}+22^{2}=10^{2}+15^{2}+23^{2}}}\end{array}$$
  2. $$\begin{array}{l}{{95200890914=15^{6}+52^{6}+65^{6}=36^{6}+37^{6}+67^{6}}}\\ {{7154=15^{2}+52^{2}+65^{2}=36^{2}+37^{2}+67^{2}}}\end{array}$$
  3. $$\begin{array}{l}{{176277173474=23^{6}+54^{6}+73^{6}=33^{6}+47^{6}+74^{6}}}\\ {{8774=23^{2}+54^{2}+73^{2}=33^{2}+47^{2}+74^{2}}}\end{array}$$
  4. $$\begin{array}{l}{{289824641354=3^{6}+55^{6}+80^{6}=32^{6}+43^{6}+81^{6}}}\\ {{9434=3^{2}+55^{2}+80^{2}=32^{2}+43^{2}+81^{2}}}\end{array}$$
  5. $$\begin{array}{l}{{300620262890=11^{6}+65^{6}+78^{6}=37^{6}+50^{6}+81^{6}}}\\ {{10430=11^{2}+65^{2}+78^{2}=37^{2}+50^{2}+81^{2}}}\end{array}$$

Если эта проблема уже где-то встречалась или известна подходящая литература, буду крайне признателен.

задан 29 Ноя '22 7:29

изменен 29 Ноя '22 19:27

Это называется нелинейные системы.... крайне тяжело их решить. Некоторые более простые удалось решить. https://math.stackexchange.com/questions/1037013/sinhas-theorem-for-equal-sums-of-like-powers-x-17x-27x-37-dots/1039432#1039432 К Тито зайди на его сайт алгебраических тождеств там некоторые формулы есть.

(29 Ноя '22 9:13) Individ

Почему вообще такое появилось. Дело в том, что можно сделать некоторые преобразования которые сведут такое уравнение 6 степени в квадратное. Ну а дальше всё тривиально. Но такого рода действия не всегда приводят к решению... если решения будут то формула будет похожа на ту которую я привёл в ссылке...

(29 Ноя '22 9:20) Individ
1

В третьем примере (1-я строка) нужно поправить: 28 -> 23

(29 Ноя '22 14:02) Urt

Есть ещё пропорциональные решения, но я так понимаю, что они здесь не учитывались.

(29 Ноя '22 19:38) falcao
1

См. также http://euler.free.fr/

(29 Ноя '22 20:37) maxal
10|600 символов нужно символов осталось
4

Оказывается, эти вещи исследовались. На удивление быстро нашлась ссылка. Там есть параметрическое семейство решений, а также сказано, что в каком-то диапазоне все решения были найдены, и среди них есть такое, для которого суммы квадратов разные. Так что ответ всё-таки отрицательный, хотя само явление весьма любопытно.

ссылка

отвечен 29 Ноя '22 19:48

я еще нашел вот такой сайт, здесь упоминается это свойство, но не объясняется почему это происходит.

(29 Ноя '22 20:16) Rene

И как я обнаружил верно еще более сильное свойство:

$$22^{10}+61^{10}+86^{10}+127^{10}+140^{10}+151^{10}=35^{10}+47^{10}+94^{10}+121^{10}+146^{10}+148^{10}.$$

Здесь если заменить степень 10 на более низкую четную степень тождество будет оставаться верным. Это по сути идеальное симметричное решение к данной проблеме. Не думаю, что у кого-то есть интуитивное понимание того, почему это происходит.

(29 Ноя '22 20:23) Rene

Оказывается, эти вещи исследовались. На удивление быстро нашлась ссылка

@falcao, интересно как они бедные без компьютера числа перебирали, в 1976 году-то?)) У меня maple и то несколько часов искал все решения до 200.

(29 Ноя '22 20:38) mihailm

@mihailm, а кто сказал, что в 1976 году не было компьютеров?... ))) просто они были не такие быстрые... и нигде не сказано, сколько часов они считали...

У меня maple и то несколько часов искал все решения до 200. - в этой связи вспоминается фраза одного из моих преподавателей, хотя, вероятно, не он является её автором.. (за точность не ручаюсь, но по смыслу)... "У нас самые плохие компьютеры в мире, потому что у нас самые хорошие вычислительные алгоритмы"...

(29 Ноя '22 21:06) all_exist

@Rene: я увидел по ссылке упоминание Prouhet, который фактически открыл последовательности Туэ - Морса ещё в середине XIX века. Оказывается, эти вещи напрямую связаны. Я даже про совпадения сумм степеней знал (красивый, хотя и элементарный факт), но с данной задачей это не проассоциировал.

(29 Ноя '22 21:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Нашлось опровержение

У троек (25,62,138) и (82,92,135) одинаковые суммы шестых степеней, но разные суммы квадратов.

ссылка

отвечен 29 Ноя '22 19:32

Искал все пары троек до 200 (полным перебором), нашел еще три пары (одна выше):

(40 125 129) и (51 113 136)

(1 132 133) и (71 92 147).

У этих суммы квадратов равны

(29 Ноя '22 19:36) mihailm

очень хорошо, @mihailm. Я прогнал код для поиска всех решений от 1 до 1000 и пара (6,2) имеет 176 совпадений и 24 несовпадений (совпадений 88%), а например пара (5,1) имеет 282 совпадений и 126 несовпадений (совпадений 69%). У других пар уже все значительно хуже.

(29 Ноя '22 20:00) Rene

@Rene, я совсем не понял вашу фразу выше про (6,2) и 174 совпадения и т.д.

(29 Ноя '22 20:35) mihailm

@mihailm я имею в виду, что степени 6 и 2 имеют 176 решений с описанным выше свойством.

(29 Ноя '22 20:37) Rene

@Rene, понял

(29 Ноя '22 21:07) mihailm
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,081
×149

задан
29 Ноя '22 7:29

показан
348 раз

обновлен
29 Ноя '22 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru