|
Доказать или опровергнуть, что если $%p^{6}+q^{6}+r^{6}=u^{6}+v^{6}+w^{6}$% верно для натуральных чисел, то и $%p^{2}+q^{2}+r^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}$% верно. Пять наименьших решений, обладающих этим свойством:
Если эта проблема уже где-то встречалась или известна подходящая литература, буду крайне признателен. задан 29 Ноя '22 7:29 
Rene |
|
Оказывается, эти вещи исследовались. На удивление быстро нашлась ссылка. Там есть параметрическое семейство решений, а также сказано, что в каком-то диапазоне все решения были найдены, и среди них есть такое, для которого суммы квадратов разные. Так что ответ всё-таки отрицательный, хотя само явление весьма любопытно. отвечен 29 Ноя '22 19:48 
falcao я еще нашел вот такой сайт, здесь упоминается это свойство, но не объясняется почему это происходит.
(29 Ноя '22 20:16)
Rene
И как я обнаружил верно еще более сильное свойство: $$22^{10}+61^{10}+86^{10}+127^{10}+140^{10}+151^{10}=35^{10}+47^{10}+94^{10}+121^{10}+146^{10}+148^{10}.$$ Здесь если заменить степень 10 на более низкую четную степень тождество будет оставаться верным. Это по сути идеальное симметричное решение к данной проблеме. Не думаю, что у кого-то есть интуитивное понимание того, почему это происходит.
(29 Ноя '22 20:23)
Rene
@falcao, интересно как они бедные без компьютера числа перебирали, в 1976 году-то?)) У меня maple и то несколько часов искал все решения до 200.
(29 Ноя '22 20:38)
mihailm
@mihailm, а кто сказал, что в 1976 году не было компьютеров?... ))) просто они были не такие быстрые... и нигде не сказано, сколько часов они считали... У меня maple и то несколько часов искал все решения до 200. - в этой связи вспоминается фраза одного из моих преподавателей, хотя, вероятно, не он является её автором.. (за точность не ручаюсь, но по смыслу)... "У нас самые плохие компьютеры в мире, потому что у нас самые хорошие вычислительные алгоритмы"...
(29 Ноя '22 21:06)
all_exist
@Rene: я увидел по ссылке упоминание Prouhet, который фактически открыл последовательности Туэ - Морса ещё в середине XIX века. Оказывается, эти вещи напрямую связаны. Я даже про совпадения сумм степеней знал (красивый, хотя и элементарный факт), но с данной задачей это не проассоциировал.
(29 Ноя '22 21:16)
falcao
|
|
Нашлось опровержение У троек (25,62,138) и (82,92,135) одинаковые суммы шестых степеней, но разные суммы квадратов. отвечен 29 Ноя '22 19:32 
mihailm Искал все пары троек до 200 (полным перебором), нашел еще три пары (одна выше): (40 125 129) и (51 113 136) (1 132 133) и (71 92 147). У этих суммы квадратов равны
(29 Ноя '22 19:36)
mihailm
очень хорошо, @mihailm. Я прогнал код для поиска всех решений от 1 до 1000 и пара (6,2) имеет 176 совпадений и 24 несовпадений (совпадений 88%), а например пара (5,1) имеет 282 совпадений и 126 несовпадений (совпадений 69%). У других пар уже все значительно хуже.
(29 Ноя '22 20:00)
Rene
@Rene, я совсем не понял вашу фразу выше про (6,2) и 174 совпадения и т.д.
(29 Ноя '22 20:35)
mihailm
@mihailm я имею в виду, что степени 6 и 2 имеют 176 решений с описанным выше свойством.
(29 Ноя '22 20:37)
Rene
|
Это называется нелинейные системы.... крайне тяжело их решить. Некоторые более простые удалось решить. https://math.stackexchange.com/questions/1037013/sinhas-theorem-for-equal-sums-of-like-powers-x-17x-27x-37-dots/1039432#1039432 К Тито зайди на его сайт алгебраических тождеств там некоторые формулы есть.
Почему вообще такое появилось. Дело в том, что можно сделать некоторые преобразования которые сведут такое уравнение 6 степени в квадратное. Ну а дальше всё тривиально. Но такого рода действия не всегда приводят к решению... если решения будут то формула будет похожа на ту которую я привёл в ссылке...
В третьем примере (1-я строка) нужно поправить: 28 -> 23
Есть ещё пропорциональные решения, но я так понимаю, что они здесь не учитывались.
См. также http://euler.free.fr/