|
Доброго времени суток! Доказать через определение предела, подробнее, пожалуйста, т.к. не понимаю, что делать нужно.
Заранее спасибо ! :) задан 19 Ноя '13 12:40 
Майленко |
|
3) Докажем из определения, что $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-1}{x+3}=2.$$ Рассмотрим разность $$2-\frac{2x-1}{x+3}=\frac{7}{2(x+3)}.$$ Мы хотим, чтобы эта величина стала по модулю меньше произвольно заданного положительного $%\varepsilon$%, поэтому напишем желаемое неравенство и поймём, при каких $%x$% (достаточно больших по модулю) оно заведомо будет выполнено. Легко понять, что неравенство $$\frac7{2|x+3|} < \varepsilon$$ будет справедливо при $%|x+3| > \frac7{2\varepsilon}$%. Это значит, что $%x+3 > \frac7{2\varepsilon}$% или $%x+3 < -\frac7{2\varepsilon}$%. Каждое из этих условий нас устраивает. Если мы потребуем выполнения условия $%|x| > 3+\frac7{2\varepsilon}$%, то из свойств неравенств будет ясно, что для положительных $%x$% будет верно первое из условий (даже с "запасом"), а для отрицательных -- второе условие. Тогда из определения предела следует доказываемый факт. отвечен 19 Ноя '13 15:46 
falcao Если вас не затруднит, то напишите, пожалуйста, как это же доказательство нужно сделать, но для лимита равного не конкретному числу, как в этом примере числу 2, а бесконечности. А будет ещё лучше, если для оставшихся двух моих примеров, чтоб уж наверняка понимать как и что делать. Заранее спасибо :)
(20 Ноя '13 16:27)
Майленко
Это достаточно просто: пусть в примере 1 число $%x$% достаточно большое -- например, $%x\ge5$%. Тогда знаменатель не превосходит $%3x$%, а числитель больше $%x^2$%. Сама дробь при этом больше $%x/3$%. Чтобы она оказалась больше заданного числа $%M$%, достаточно положить $%x\ge3M$%. Скажем, при $%x\ge3000$% значение дроби будет больше тысячи и т.п.
(20 Ноя '13 16:38)
falcao
Пример 2 там тоже простой. Рассмотрим разность функции и значения предполагаемого предела. Получится $%(x^4-1)+2(x^3-1)$%. Выделим множитель $%x-1$% и посмотрим на то, что осталось. Там будет $%x^3+x^2+x+1+2(x^2+x+1)=x^3+3x^2+3x+3$%, хотя конкретный вид не так важен. Потребуем сначала, чтобы было $%|x-1| < 1$%. Тогда $%x < 2$%, и выделенный множитель меньше некой константы -- пусть это будет 100. Получается, что модуль разности $%|f(x)-a|$% меньше $%100|x-1|$%. Тогда требуем, чтобы было $%|x-1| < \varepsilon/100$%.
(20 Ноя '13 17:30)
falcao
|
1) разделите числитель и знаменатель на $%x$%. Числитель будет стремиться к бесконечности, знаменатель -- к двум, т.е. частное тоже к бесконечности.
2) просто подставьте $%x=1$%.
3) числитель и знаменатель делим на $%x$% и применяем теорему о пределе частного: предел числителя равен 2, предел знаменателя равен 1.
Нужно доказать, а не решить, вот в чем проблема, с помощью, как я поняла определения Коши.
Слово "доказать" означает вывести из известных положений: аксиом, опредлений, лемм, теорем. Все перечисленные утверждения выводятся из теорем о пределах. Если же этими теоремами пользоваться не разрешено, то в условии задачи такая вещь должна быть явно оговорена. Рассуждения при этом становятся несколько более сложными, но возможно доказательство, опирающееся только на определение предела и на элементарные свойства неравенств. Если нужно, я по каждому пункту могу продемонстрировать, как это делается.