Пусть задана окружность радиуса R = 1. "Количество" прямоугольных треугольников (их вершин на длине единичной окружности) равно $$2\pi$$, "количество" тупоугольных (их вершин на площади единичного круга) равно $$\pi$$. С точки зрения здравого смысла напротив: "количество" тупоугольных треугольников должно быть неизмеримо больше "количества" прямоугольных. Как объяснить этот парадокс: тем, что плотность точек окружности неизмеримо больше плотности точек круга? Или это вообще необъяснимо, как многое другое, на чём "сидит" теория множеств?

задан 19 Ноя '13 12:54

Бесконечное множество может быть равномощно собственному подмножеству, поэтому для бесконечных множеств неприменим принцип "целое больше части". Например, натуральных чисел "столько же", сколько чётных, или сколько простых, или сколько точных квадратов. Так что ничего удивительного здесь нет. При разных способах сравнения можно получить, что одно "больше" другого, и наоборот. В Вашем примере тупоугольных явно "больше", так как площадь круга должна сравниваться с площадью линии (окружности), равной нулю.

В общем случае можно содержательно что-то сравнивать, если на множестве задана мера.

(19 Ноя '13 13:53) falcao

Площадь единичного круга составлена из континуума окружностей с радиусами 1 > R > 0. Мощности множества точек окружности R = 1 и окружности бесконечно малого радиуса dR, близкого к нулю, эквивалентны. В таком случае, как можно вести какие-то подсчёты, сравнения? Даже теория вероятностей выглядит более правдоподобно, чем теория множеств. Можно ли дать практическое приложение теории множеств хоть в какой-то нематематической области, если уж математика не считает эту свою дочь падчерицей? Одно дело иметь перед глазами иллюзию, нечто кажущееся, но - терпеть "научные" парадоксы! Стоит ли?

(19 Ноя '13 16:31) nikolaykruzh...

"Равноценность" бесконечности натуральных и чётных чисел основана на чисто психологических свойствах человеческого мозга, не способного представить саму эту бесконечность, потому что сам он конечен, и познание мира осуществляет в том числе и с помощью аналогий, а у бесконечности нет никакой аналогии в человеческой логике. Другое дело - конечная окружность, которую глаза видят, а руки осязают. Бесконечность натурального ряда чисел и бесконечность точек окружности - вещи, несколько разнящиеся и потому не сопоставимые, не сравнимые между собою. У мозга, как у прибора, есть порог чувствительности.

(19 Ноя '13 16:48) nikolaykruzh...

Вопросы философии или психологии я здесь не хочу обсуждать, а по поводу применения теории вероятностей я уже сказал, что для анализа тех или иных естественных ситуаций надо задать меру на рассматриваемом множестве. Такой мерой может быть длина, площадь, объём или что-то ещё. Часто требуют, чтобы мера была инвариантной относительно вращений или каких-то других преобразований. К сказанному Вами подошла бы такая (вероятностная) мера на круге: бросаем точку равномерно на отрезок $%[0;R]$% и задаём случайное значение радиуса. На соответствующей окружности берём точку (равномерно).

(19 Ноя '13 16:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Это не парадокс. Множество точек на окружности континуально, т. е. имеет мощность $%c$%.

Какую бы точку на окружности мы ни взяли, мы можем:

  1. Построить прямоугольный треугольник, если его гипотенуза будет проходить через центр.
  2. Построить тупоугольный треугольник, если центр окружности будет находиться вне треугольника и его границы. Здесь у нас есть $%c$% вариантов, провести "основание" треугольника так, чтобы оно не проходило через центр.

Поэтому два множества равномощны, т. к. $%c\times c=c$%

ссылка

отвечен 2 Янв '14 11:48

изменен 2 Янв '14 11:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×502

задан
19 Ноя '13 12:54

показан
625 раз

обновлен
2 Янв '14 11:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru