|
Пусть задана окружность радиуса R = 1. "Количество" прямоугольных треугольников (их вершин на длине единичной окружности) равно $$2\pi$$, "количество" тупоугольных (их вершин на площади единичного круга) равно $$\pi$$. С точки зрения здравого смысла напротив: "количество" тупоугольных треугольников должно быть неизмеримо больше "количества" прямоугольных. Как объяснить этот парадокс: тем, что плотность точек окружности неизмеримо больше плотности точек круга? Или это вообще необъяснимо, как многое другое, на чём "сидит" теория множеств? задан 19 Ноя '13 12:54 
nikolaykruzh... |
|
Это не парадокс. Множество точек на окружности континуально, т. е. имеет мощность $%c$%. Какую бы точку на окружности мы ни взяли, мы можем:
Поэтому два множества равномощны, т. к. $%c\times c=c$% отвечен 2 Янв '14 11:48 
MathTrbl |
Бесконечное множество может быть равномощно собственному подмножеству, поэтому для бесконечных множеств неприменим принцип "целое больше части". Например, натуральных чисел "столько же", сколько чётных, или сколько простых, или сколько точных квадратов. Так что ничего удивительного здесь нет. При разных способах сравнения можно получить, что одно "больше" другого, и наоборот. В Вашем примере тупоугольных явно "больше", так как площадь круга должна сравниваться с площадью линии (окружности), равной нулю.
В общем случае можно содержательно что-то сравнивать, если на множестве задана мера.
Площадь единичного круга составлена из континуума окружностей с радиусами 1 > R > 0. Мощности множества точек окружности R = 1 и окружности бесконечно малого радиуса dR, близкого к нулю, эквивалентны. В таком случае, как можно вести какие-то подсчёты, сравнения? Даже теория вероятностей выглядит более правдоподобно, чем теория множеств. Можно ли дать практическое приложение теории множеств хоть в какой-то нематематической области, если уж математика не считает эту свою дочь падчерицей? Одно дело иметь перед глазами иллюзию, нечто кажущееся, но - терпеть "научные" парадоксы! Стоит ли?
"Равноценность" бесконечности натуральных и чётных чисел основана на чисто психологических свойствах человеческого мозга, не способного представить саму эту бесконечность, потому что сам он конечен, и познание мира осуществляет в том числе и с помощью аналогий, а у бесконечности нет никакой аналогии в человеческой логике. Другое дело - конечная окружность, которую глаза видят, а руки осязают. Бесконечность натурального ряда чисел и бесконечность точек окружности - вещи, несколько разнящиеся и потому не сопоставимые, не сравнимые между собою. У мозга, как у прибора, есть порог чувствительности.
Вопросы философии или психологии я здесь не хочу обсуждать, а по поводу применения теории вероятностей я уже сказал, что для анализа тех или иных естественных ситуаций надо задать меру на рассматриваемом множестве. Такой мерой может быть длина, площадь, объём или что-то ещё. Часто требуют, чтобы мера была инвариантной относительно вращений или каких-то других преобразований. К сказанному Вами подошла бы такая (вероятностная) мера на круге: бросаем точку равномерно на отрезок $%[0;R]$% и задаём случайное значение радиуса. На соответствующей окружности берём точку (равномерно).