Доказать неравенство:

$%\frac{ a^{2} + f^{2} }{ c + d } + \frac{ b^{2} + c^{2} }{ e + f } + \frac{ e^{2} + d^{2} }{ a + b } \geqslant \frac{ 3 }{ 2 }\frac{ (a + b)^{2} + (c + d)^{2} + (e + f)^{2} }{ a + b + c + d + e + f }$%, где $%a, b, c, d, e, f > 0$%

Заранее благодарен за помощь!

задан 19 Ноя '13 14:55

Откуда задача, если не секрет

(19 Ноя '13 16:52) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим следующее неравенство, справедливое для любых положительных чисел: $$(1)\qquad\frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}\ge\frac{(u_1+u_2)^2}{v_1+v_2}.$$ Оно может быть выведено из неравенства Коши - Буняковского для векторов с координатами $%(u_1/\sqrt{v_1};u_2/\sqrt{v_2};u_3/\sqrt{v_3})$% и $%\sqrt{v_1};\sqrt{v_2};\sqrt{v_3})$%, но оно также допускает и непосредственную проверку. Действительно, после домножения на $%v_1+v_2$% и сокращения слагаемого $%u_1^2+u_2^2$%, в левой части остаётся $%u_1^2v_2/v_1+u_2^2v_1/v_2$%, что не меньше $%2u_1u_2$% в силу неравенства о среднем.

Теперь применим (1) несколько раз: $$\frac{a^2}{c+d}+\frac{b^2}{e+f}\ge\frac{(a+b)^2}{c+d+e+f},$$ $$\frac{c^2}{e+f}+\frac{d^2}{a+b}\ge\frac{(c+d)^2}{a+b+e+f},$$ $$\frac{e^2}{a+b}+\frac{f^2}{c+d}\ge\frac{(e+f)^2}{a+b+c+d}.$$ Если сложить эти неравенства почленно, то слева окажется левая часть доказываемого неравенства, а справа появится выражение $$(2)\qquad\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y},$$ где мы использовали обозначения $%x=a+b$%, $%y=c+d$%, $%z=e+f$%. Теперь нам достаточно проверить, что (2) не меньше $$(3)\qquad\qquad\ \frac32\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z},$$ то есть правой части доказываемого неравенства. Числа $%x$%, $%y$%, $%z$% являются положительными.

Применим неравенство (1) ещё несколько раз для следующих трёх симметричных случаев: $$\frac1x+\frac4{y+z}\ge\frac9{x+y+z},$$ $$\frac1y+\frac4{x+z}\ge\frac9{x+y+z},$$ $$\frac1z+\frac4{x+y}\ge\frac9{x+y+z}.$$ Домножим первое неравенство на $%x^2$%, второе на $%y^2$%, третье на $%z^2$% и сложим почленно. Получится $$(4)\quad x+y+z+4\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\ge\frac{9(x^2+y^2+z^2)}{x+y+z}.$$

Теперь осталось сослаться на неравенство о среднем: $$\frac{x^2+y^2+z^2}3\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2,$$ в силу которого $$\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x+y+z}\ge x+y+z.$$ Складывая полученное неравенство почленно с (4) и производя элементарные упрощения, получаем, что (2) не меньше (3), что и требовалось.

ссылка

отвечен 19 Ноя '13 20:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×235

задан
19 Ноя '13 14:55

показан
541 раз

обновлен
19 Ноя '13 20:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru