$%(1+1/2^2)(1+1/3^2)...(1+1/n^2)<2$% как доказать?

задан 19 Ноя '13 20:56

изменен 20 Ноя '13 1:26

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сомножитель $%1+1/k^2$% меньше $%1+1/(k^2-1)=k^2/(k^2-1)$% при $%k\ge2$%. Поэтому рассматриваемое произведение меньше чем $$\frac{2\cdot2}{1\cdot3}\cdot\frac{3\cdot3}{2\cdot4}\cdots\frac{n\cdot n}{(n-1)(n+1)}.$$ В числителе получается выражение $%n!^2$%, а в знаменателе, если отдельно учесть идущие первыми и вторыми сомножители, оказывается произведение $%(1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1))(3\cdot4\cdot\ldots\cdot(n+1))=(n-1)!(n+1)!/2$%. Производя сокращения у числителя и знаменателя, получаем дробь $%2n/(n+1)$%, а она меньше двух.

ссылка

отвечен 19 Ноя '13 21:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×364

задан
19 Ноя '13 20:56

показан
451 раз

обновлен
19 Ноя '13 22:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru