В клетках квадрата 7x7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всём квадрате также положительна?

задан 19 Ноя '13 22:30

перемечен 18 Май '18 22:01

%D0%9F%D0%B0%D1%86%D0%BD%D0%B5%D1%85%D0%B5%D0%BD%D1%87%D0%B8%D0%BA%20%D0%9F%D0%B0%D1%86%D0%BD%D0%B5%D1%85%D0%B5%D0%BD%D1%87%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2's gravatar image


1.7k9

10|600 символов нужно символов осталось
2

В задачах такого типа встречаются как положительные ответы, так и отрицательные. В данном случае ответ положителен. Прежде всего, из двух уголков можно составить прямоугольник $%3\times2$%. Далее, сумма чисел в любом квадрате $%2\times2$% также положительна, потому что его можно покрыть четырьмя уголками в три слоя.

Теперь покроем квадрат $%7\times7$% без центральной клетки восемью прямоугольниками $%3\times2$%. Такую конструкцию просто нарисовать: она симметрична относительно поворота на 90 градусов вокруг центра. Можно сначала расставить по углам прямоугольники $%4\times3$%, а потом разрезать каждый из них на две равные части.

Здесь одна клетка в центре пока не покрыта, поэтому слегка модифицируем покрытие. Рассмотрим один из прямоугольников $%3\times2$%, граничащий с центральной клеткой по стороне. Вместе с этой клеткой получается фигура, состоящая из одного уголка и одного квадрата $%2\times2$%. Покроем её этим способом. В итоге весь квадрат покрыт фигурами с положительной суммой клеток (один уголок, один квадрат $%2\times2$%, и семь прямоугольников $%3\times2$%). Сумма всех чисел оказалась положительной.

ссылка

отвечен 19 Ноя '13 23:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711
×1,114

задан
19 Ноя '13 22:30

показан
2721 раз

обновлен
18 Май '18 22:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru