|
В клетках квадрата 7x7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всём квадрате также положительна? задан 19 Ноя '13 22:30 
serg55 |
|
В задачах такого типа встречаются как положительные ответы, так и отрицательные. В данном случае ответ положителен. Прежде всего, из двух уголков можно составить прямоугольник $%3\times2$%. Далее, сумма чисел в любом квадрате $%2\times2$% также положительна, потому что его можно покрыть четырьмя уголками в три слоя. Теперь покроем квадрат $%7\times7$% без центральной клетки восемью прямоугольниками $%3\times2$%. Такую конструкцию просто нарисовать: она симметрична относительно поворота на 90 градусов вокруг центра. Можно сначала расставить по углам прямоугольники $%4\times3$%, а потом разрезать каждый из них на две равные части. Здесь одна клетка в центре пока не покрыта, поэтому слегка модифицируем покрытие. Рассмотрим один из прямоугольников $%3\times2$%, граничащий с центральной клеткой по стороне. Вместе с этой клеткой получается фигура, состоящая из одного уголка и одного квадрата $%2\times2$%. Покроем её этим способом. В итоге весь квадрат покрыт фигурами с положительной суммой клеток (один уголок, один квадрат $%2\times2$%, и семь прямоугольников $%3\times2$%). Сумма всех чисел оказалась положительной. отвечен 19 Ноя '13 23:32 
falcao |