Пусть alpha, beta, gamma - плоские углы трёхгранного угла. Докажите, что числа sin(alpha/2), sin(beta/2), sin(gamma/2) являются длинами сторон некоторого треугольника.

задан 20 Ноя '13 0:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Синусы здесь положительны, и достаточно проверить справедливость неравенства $%\sin(\alpha/2) < \sin(\beta/2)+\sin(\gamma/2)$%. Это следует из известного свойства трёхгранного угла: каждый из его плоских углов меньше суммы двух других. Запишем сумму синусов как $$\sin(\beta/2)+\sin(\gamma/2)=2\sin\frac{\beta+\gamma}4\cos\frac{\beta-\gamma}4.$$ Ввиду того, что $%0 < \alpha/4 < (\beta+\gamma)/4 < \pi/2$% и возрастания синуса на $%(0;\pi/2)$%, получаем неравенство $%\sin((\beta+\gamma)/4) > \sin(\alpha/4)$%. Без ограничения общности полагаем $%\beta\ge\gamma$%, и тогда из тех же соображений получается $%0\le(\beta-\gamma)/4 < \alpha/4 < \pi/4$%. Пользуясь убыванием косинуса на $%[0;\pi/2)$%, приходим к неравенству $%\cos((\beta-\gamma)/4) > \cos(\alpha/4)$%. Перемножение полученных неравенств (все числа здесь положительны) приводит к тому, что правая часть рассмотренного выше неравенства из выделенной строки больше $%2\sin(\alpha/4)\cos(\alpha/4)=\sin(\alpha/2)$%, что и требовалось установить.

ссылка

отвечен 20 Ноя '13 1:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

А можно просто нарисовать сферу с центром в вершине нашего угла ) Тогда она пересечёт рёбра в трёх точках, которые дадут треугольник, стороны которого и равны $%2R \sin \alpha/2, 2R\sin\beta/2$% и $%2R\sin\gamma/2$% соответственно ))

ссылка

отвечен 21 Ноя '13 1:14

Да, это верно.

(21 Ноя '13 3:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,829

задан
20 Ноя '13 0:54

показан
1430 раз

обновлен
21 Ноя '13 3:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru