|
Пусть задан 20 Ноя '13 0:54 
serg55 |
|
Синусы здесь положительны, и достаточно проверить справедливость неравенства $%\sin(\alpha/2) < \sin(\beta/2)+\sin(\gamma/2)$%. Это следует из известного свойства трёхгранного угла: каждый из его плоских углов меньше суммы двух других. Запишем сумму синусов как $$\sin(\beta/2)+\sin(\gamma/2)=2\sin\frac{\beta+\gamma}4\cos\frac{\beta-\gamma}4.$$ Ввиду того, что $%0 < \alpha/4 < (\beta+\gamma)/4 < \pi/2$% и возрастания синуса на $%(0;\pi/2)$%, получаем неравенство $%\sin((\beta+\gamma)/4) > \sin(\alpha/4)$%. Без ограничения общности полагаем $%\beta\ge\gamma$%, и тогда из тех же соображений получается $%0\le(\beta-\gamma)/4 < \alpha/4 < \pi/4$%. Пользуясь убыванием косинуса на $%[0;\pi/2)$%, приходим к неравенству $%\cos((\beta-\gamma)/4) > \cos(\alpha/4)$%. Перемножение полученных неравенств (все числа здесь положительны) приводит к тому, что правая часть рассмотренного выше неравенства из выделенной строки больше $%2\sin(\alpha/4)\cos(\alpha/4)=\sin(\alpha/2)$%, что и требовалось установить. отвечен 20 Ноя '13 1:25 
falcao |
|
А можно просто нарисовать сферу с центром в вершине нашего угла ) Тогда она пересечёт рёбра в трёх точках, которые дадут треугольник, стороны которого и равны $%2R \sin \alpha/2, 2R\sin\beta/2$% и $%2R\sin\gamma/2$% соответственно )) отвечен 21 Ноя '13 1:14 
trongsund Да, это верно.
(21 Ноя '13 3:13)
falcao
|