Можно ли считать понятия "относительно компактное множество" и "множество конечной меры Лебега" эквивалентными для гильбертова пространства?

Пояснение. Понятие относительной компактности для гильбертова (да и вообще для любого полного метрического) пространства совпадает с понятием "полной ограниченности", т.е., при любом eps>0 множество может быть покрыто конечной eps-цепью. Казалось бы, из eps-цепи легко сделать покрытие параллелепипедами и свести понятие компактности к конечной мере. Но что-то я не могу найти соответствующую теорему.

Уточнение вопроса в связи с замечанием DocintI. Допустим, мы вводим понятие меры в гильбертовом пространстве всеми возможными разумными способами. Будут среди этих мер такие, конечность которых была бы эквивалентна относительной компактности?

задан 5 Мар '12 13:17

изменен 6 Мар '12 13:51

А разве мера Лебега в гильбертовом пространстве вводится однозначно?

(5 Мар '12 17:48) DocentI

В каком смысле однозначно?

(5 Мар '12 17:50) Андрей Юрьевич

Ну, относительная компактность - топологическое свойство, т.е. порождаемое самой топологией пространства. А мера Лебега (измеримость) порождается дополнительной структурой: полукольцом с мерой. Т.е. на одном и том же пространстве могут быть разные системы измеримых множеств.

(5 Мар '12 23:45) DocentI

Топологию на данном множестве можно тоже вводить по-разному. Но, переформулирую вопрос. Допустим, мы вводим понятие меры всеми возможными разумными способами. Будут среди этих мер такие, конечность которых была бы эквивалентна относительной компактности?

(6 Мар '12 1:42) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Не являясь специалистом, выскажу только предположение. Одно дело параллелепипед, а другое - его мера. В конечномерном пространстве существует "естественная" мера - произведение длин сторон. А что считать мерой "бесконечномерного" гильбертова параллелепипеда?

ссылка

отвечен 6 Мар '12 22:56

Считать меру нужно так же - другого варианта вроде нет, но измеримыми придется считать только множества, укладывающиеся в "гильбертов чемодан (или кирпич)" - фундаментальный параллелепипед, у которого каждое следующее ребро в 2 раза меньше предыдущего. Или покрываемое такими кирпичами. Но как раз гильбертов чемодан - это простейший пример компакта (а вот единичный шар - не компакт!).

(7 Мар '12 0:51) Андрей Юрьевич

Если стороны параллелепипеда равны $%a\over{2^n}$%, то его объем равен $%\lim{{a^n}\over{2^{{n(n+1)}\over 2}}}$%, т.е. 0.

(7 Мар '12 11:29) DocentI

Ну да, да, Вы правы. Вопрос возник при чтении некоторых глав функционального анализа аспирантам. Сейчас я понял, что понятие меры в бесконечномерном пространстве лучше вообще не затрагивать. Спасибо за обсуждение.

(7 Мар '12 12:27) Андрей Юрьевич

Сама удивилась, что смогла помочь! Я читаю только матан, да еще вечерникам ВМК. Так что меру Лебега проскакиваем "по касательной".

(7 Мар '12 18:12) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×333
×86
×4

задан
5 Мар '12 13:17

показан
1408 раз

обновлен
7 Мар '12 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru