|
Можно ли считать понятия "относительно компактное множество" и "множество конечной меры Лебега" эквивалентными для гильбертова пространства? Пояснение. Понятие относительной компактности для гильбертова (да и вообще для любого полного метрического) пространства совпадает с понятием "полной ограниченности", т.е., при любом eps>0 множество может быть покрыто конечной eps-цепью. Казалось бы, из eps-цепи легко сделать покрытие параллелепипедами и свести понятие компактности к конечной мере. Но что-то я не могу найти соответствующую теорему. Уточнение вопроса в связи с замечанием DocintI. Допустим, мы вводим понятие меры в гильбертовом пространстве всеми возможными разумными способами. Будут среди этих мер такие, конечность которых была бы эквивалентна относительной компактности? задан 5 Мар '12 13:17 
Андрей Юрьевич |
|
Не являясь специалистом, выскажу только предположение. Одно дело параллелепипед, а другое - его мера. В конечномерном пространстве существует "естественная" мера - произведение длин сторон. А что считать мерой "бесконечномерного" гильбертова параллелепипеда? отвечен 6 Мар '12 22:56 
DocentI Считать меру нужно так же - другого варианта вроде нет, но измеримыми придется считать только множества, укладывающиеся в "гильбертов чемодан (или кирпич)" - фундаментальный параллелепипед, у которого каждое следующее ребро в 2 раза меньше предыдущего. Или покрываемое такими кирпичами. Но как раз гильбертов чемодан - это простейший пример компакта (а вот единичный шар - не компакт!).
(7 Мар '12 0:51)
Андрей Юрьевич
Если стороны параллелепипеда равны $%a\over{2^n}$%, то его объем равен $%\lim{{a^n}\over{2^{{n(n+1)}\over 2}}}$%, т.е. 0.
(7 Мар '12 11:29)
DocentI
Ну да, да, Вы правы. Вопрос возник при чтении некоторых глав функционального анализа аспирантам. Сейчас я понял, что понятие меры в бесконечномерном пространстве лучше вообще не затрагивать. Спасибо за обсуждение.
(7 Мар '12 12:27)
Андрей Юрьевич
Сама удивилась, что смогла помочь! Я читаю только матан, да еще вечерникам ВМК. Так что меру Лебега проскакиваем "по касательной".
(7 Мар '12 18:12)
DocentI
|
А разве мера Лебега в гильбертовом пространстве вводится однозначно?
В каком смысле однозначно?
Ну, относительная компактность - топологическое свойство, т.е. порождаемое самой топологией пространства. А мера Лебега (измеримость) порождается дополнительной структурой: полукольцом с мерой. Т.е. на одном и том же пространстве могут быть разные системы измеримых множеств.
Топологию на данном множестве можно тоже вводить по-разному. Но, переформулирую вопрос. Допустим, мы вводим понятие меры всеми возможными разумными способами. Будут среди этих мер такие, конечность которых была бы эквивалентна относительной компактности?