В треугольнике $%ABC$% угол при вершине $%B$% в $%2$% раза больше угла при вершине $%C$%. Окружность с центром в точке $%A$% и радиусом $%AB$% пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $%BC$% в точке $%P$%(внутри треугольника). Найти отношение угла $%PAC$% к углу $%BAC$%.

задан 21 Ноя '13 21:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%BD$% - биссектриса угла $%B$%, $%F$% - середина стороны $%BC$%... Очевидно, что $%DF$% будет серединным перпендикуляром...

Обозначим следующим образом углы $%\angle PAB = 2\alpha,\;\angle ACB = \angle DBA = \angle DBC = \beta,\; \angle PAC = \gamma$% и длины сторон $%AB=2a,\; BF=FC=b$%...

Далее набор простых вычислений:
1) из прямоугольного треугольника $%\Delta DFC$% находим $%DC=\frac{b}{\cos(\beta)}$%...
2) пользуясь свойством биссектрисы $%BD$% находим $%DA=\frac{a}{\cos(\beta)}$%...
3) проводим $%AH\perp FD$% и из подобия треугольников $%\Delta DFC\sim\Delta DHA$% находим, что $%AH = a$%...

Таким образом, после простых рассуждений, которые здесь пропущу, делаем следующие выводы:
1) в треугольнике $%\Delta APH$% угол $%\angle HPA = 30^o$%, следовательно, $%\angle EAP = \beta+\gamma=60^o$%...
2) продолжение $%AH$% и $%BD$% пересекаются в точке $%E$% - пересечение окружностей...
3) угол $%\angle EBP = 30^o$%, как половина центрального угла $%\angle EAP$%...

Следовательно, $%\angle ABP=30^0+\beta=90^o-\alpha$%, откуда получаем, что $%\alpha=\gamma$%, что даёт ответ $%\angle BAC = 3\angle PAC$%...

alt text

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 5:22

изменен 22 Ноя '13 5:23

Спасибо, все ясно

(22 Ноя '13 16:37) SenjuHashirama

welcome...

(22 Ноя '13 16:41) all_exist

А в какой программе Вы рисунки делаете?

(22 Ноя '13 17:31) SenjuHashirama

Sketchpad ("Живая геометрия")... аналогичными возможностями обладает программа GeoGebra...

(22 Ноя '13 18:34) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

не плохая программа для планиметрических построений Cinderella, правда не русифицирована, но интуитивно понятна и весит немного, + возможность сохранения чертежей в PDF

ссылка

отвечен 5 Дек '13 17:20

Благодарю Вас

(5 Дек '13 20:05) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
21 Ноя '13 21:42

показан
913 раз

обновлен
5 Дек '13 20:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru