Планиметрия: найти отношение углов

Пусть $%BD$% - биссектриса угла $%B$%, $%F$% - середина стороны $%BC$%... Очевидно, что $%DF$% будет серединным перпендикуляром...

Обозначим следующим образом углы $%\angle PAB = 2\alpha,\;\angle ACB = \angle DBA = \angle DBC = \beta,\; \angle PAC = \gamma$% и длины сторон $%AB=2a,\; BF=FC=b$%...

Далее набор простых вычислений:
1) из прямоугольного треугольника $%\Delta DFC$% находим $%DC=\frac{b}{\cos(\beta)}$%...
2) пользуясь свойством биссектрисы $%BD$% находим $%DA=\frac{a}{\cos(\beta)}$%...
3) проводим $%AH\perp FD$% и из подобия треугольников $%\Delta DFC\sim\Delta DHA$% находим, что $%AH = a$%...

Таким образом, после простых рассуждений, которые здесь пропущу, делаем следующие выводы:
1) в треугольнике $%\Delta APH$% угол $%\angle HPA = 30^o$%, следовательно, $%\angle EAP = \beta+\gamma=60^o$%...
2) продолжение $%AH$% и $%BD$% пересекаются в точке $%E$% - пересечение окружностей...
3) угол $%\angle EBP = 30^o$%, как половина центрального угла $%\angle EAP$%...

Следовательно, $%\angle ABP=30^0+\beta=90^o-\alpha$%, откуда получаем, что $%\alpha=\gamma$%, что даёт ответ $%\angle BAC = 3\angle PAC$%...