|
Помогите, пожалуйста. Найти расстояние между прямыми $$L1: x+y-2=0$$ и $$L2:3x+3y+16=0$$ задан 22 Ноя '13 0:44 
Sergej |
|
Находим координаты пересечения, например, с осью $%y$%: пусть это в первом случае $%x_1$%, во втором - $%x_2$%. отвечен 22 Ноя '13 0:51 
trongsund Спасибо большое!
(22 Ноя '13 1:03)
Sergej
|
|
Из тождества $$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=\frac{1}{2}\{[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]^2+[(x_1-y_1)-(x_2-y_2)]^2\}$$ сразу следует, что если точка $%A_1(x_1,y_1)$% лежит на прямой $%L_1,$% а точка $%A_2(x_2,y_2)$% - на прямой $%L_2,$% то расстояние между ними - не менее $$\sqrt{\frac{1}{2}[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+\frac{16}{3}\right)=\frac{11\sqrt{2}}{3},$$ и эта величина достигается для тех и только тех точек, для которых $$x_1-y_1=x_2-y_2.$$ отвечен 22 Ноя '13 16:20 
splen |
|
Первая прямая $%1/\sqrt2x+1/\sqrt2y-\sqrt2=0$%, вторая $%-1/\sqrt2x-1/\sqrt2y-16/(3\sqrt2)=0$%. Знаки единичных нормальных векторов противоположны - прямые по разные стороны от начала координат. Расстояние есть сумма модулей свободных членов $%11\sqrt2/3$%. отвечен 22 Ноя '13 14:57 
Lyudmyla 1
@Lyudmyla, на мой взгляд лучше было сказать, что в нормированное уравнение прямой $%l: x\cdot \cos(\phi)+y\cdot \sin(\phi)-d=0$% задаётся углом наклона $%\phi$% и расстоянием от начала координат $%d$% (которое определяется с точностью до направления)... Тогда расстояние между параллельными прямыми равно $%|d_1-d_2|$%...
(22 Ноя '13 15:55)
all_exist
|
|
В начале надо было сказать, что прямые параллельны (в противном случае расстояние будет нулевым)... тогда расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до второй... Для расстояния от точки $%A(x_0;y_0)$% до прямой $%l:\, ax+by+c=0$% есть формула, которая обычно выводится на лекциях: $$\rho(A;l)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ При желании эту формулу можно модифицировать под расстояние между двумя параллельными прямыми... отвечен 22 Ноя '13 5:37 
all_exist @all_exist: конечно, оба способа годятся, но в данном случае прямые идут под углом 45 градусов, поэтому имеет смысл опереться на этот факт, а не на формулу общего вида.
(22 Ноя '13 6:03)
falcao
@falcao, я понимаю, что Вы любите разбирать частные случаи... но общая формула тем хороша, что не зависит от размерности пространства... ведь при переходе в трёхмерное пространство первый способ уже не годится... На плоскости, конечно, способ, указанный @trongsund, работает хорошо.. но при чём тут указание на "45 градусов"... рассуждения от угла не зависят...
(22 Ноя '13 14:41)
all_exist
@falcao, кроме того, я не претендую на абсолютную истину, а просто указываю другой путь решения...
(22 Ноя '13 14:44)
all_exist
@all_exist: да, я Вас так и понял, что Вы предлагаете другой путь решения. Речь всего лишь о том, какого рода способы предпочтительнее. Скажем, если бы расстояние измерялось по оси $%Ox$% или по оси $%Oy$%, то здесь уже формулу никто бы не стал применять. Случай с углом в 45 градусов мало чем отличается от этого. Конечно, для более сложной ситуации, включая трёхмерную, можно либо воспользоваться готовой формулой (для тех, кто её помнит), либо фактически повторить её вывод применительно к задаче, опираясь на методы аналитической геометрии.
(22 Ноя '13 19:06)
falcao
|
|
$%(1,1)*k$% принадлежит L1 $%k+k=2$%, $%2k=2$%, $%k=1$% $%|(1,1) * 1| = |(1,1)|=sqrt(2)$% до L2 $%3k+3k+16 = 0$% $%k=-16/6 = -8/3$% $%|(1,1) -8/3| = 8/3 * sqrt(2)$% а между ними $%8/3 * sqrt(2)+sqrt(2) = 11/3 * sqrt(2)$% x+y-2=0 параллельна x+y=0 ибо если у них есть точки пересеченя получим что x+y = x+y-2 -2=0 что невозможно то есть x+y-2 и x+y не пересекаются то есть они параллельны 3x+3y+16=0 эквивалентно x+y+16/3=0 то есть и 3x+3y+16 паралеьна x+y из транзитивности следует что x+y-2 паралельна 3x+3y+16 а прямая x+y=0 это все вектора скалярное произведение на (1,1) = 0 (1,1) скалярно на (x,y) = x+y=0 то есть это все вектора пенпендикулярные вектору (1,1) то же самое и x+y-2 пенпендикулярно (1,1) и 3x+3y+16 ибо это все прямые параллельные x+y=0 в точке x=0 прямая x+y-2 пересекает ось ординат в точке 2 прямая 3x+3y+16 персекает ось ординат в -16/3 расстояние между ними 2+16/3= 6/3+16/3=22/3 умножим это расстояние на косинус 45 градусов получим 22/3*sqrt(2)/2 корень из 2 далее 11/3*sqrt(2) ибо это расстоняние катета в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 22/3 то есть ответ 11*sqrt(2)/3 Скалярное произведение векторов и норму вектора придумал математик Мальцев в 90-х годах Умер он в 90-х годах и прожил всего 40 лет И ещё великий учёный Ломоносов говорил так математика на то нужна человеку что она ум в порядок приводит. отвечен 23 Ноя '13 23:14 
artem00 @artem00: правильный ответ, полученный в нескольких решениях, это $%11\sqrt2/3$%.
(23 Ноя '13 23:21)
falcao
Я так и написал sqrt(2) - это в паскале когда программируешь таким образом записывается корень из 2
(23 Ноя '13 23:38)
artem00
А как вот этот символ @ по русски читается?
(23 Ноя '13 23:43)
artem00
У Вас там был корень из трёх помимо всего прочего. То есть текст к настоящему моменту изменился. То, что sqrt -- это корень, вещь достаточно общепринятая. Чтобы они принял вид обычного радикала, здесь в формулах применяют "долларовые скобки". Символ @ используется этим сайтом для выделения имени пользователя, а также для оповещений, если это предусмотрено. Смысл в том, что я не просто пишу слово, а к кому-то обращаюсь.
(24 Ноя '13 2:25)
falcao
Нет как по русски произноситься символ @ я хотел бы узнать?
(24 Ноя '13 2:50)
artem00
Просто у меня был друг программист и когда я смотрел один сайт в сети раньше видео в сети не было и интернет был очень дорогой там в общем фото обнажённых девиц. Так вот он мне сказал что этот символ называется "собака"
(24 Ноя '13 3:28)
artem00
Я слышал, что официальное название этой буквы -- "А коммерческое", то так никто обычно не говорит. Чаще всего употребляют жаргонный термин "собака" (особенно при произнесении электронных адресов). Если это считается не вполне "приличным", то могут ещё говорить "эт" (в смысле "at").
(24 Ноя '13 4:11)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
@Sergej, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.