Помогите, пожалуйста. Найти расстояние между прямыми $$L1: x+y-2=0$$ и $$L2:3x+3y+16=0$$

задан 22 Ноя '13 0:44

изменен 22 Ноя '13 1:50

Deleted's gravatar image


126

@Sergej, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(22 Ноя '13 1:51) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
4

Находим координаты пересечения, например, с осью $%y$%: пусть это в первом случае $%x_1$%, во втором - $%x_2$%.
Тогда длина отрезка между точками легко считается как $%|x_1-x_2|$%. Теперь, если угол между прямыми и осью равен $%\alpha$%, то расстояние равно $%|x_1-x_2| \sin\alpha$%.
В нашем случае $%x_1=2, x_2=-16/3, \alpha = \pi/4.$% Кажется, всё )

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 0:51

Спасибо большое!

(22 Ноя '13 1:03) Sergej
10|600 символов нужно символов осталось
4

Из тождества $$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=\frac{1}{2}\{[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]^2+[(x_1-y_1)-(x_2-y_2)]^2\}$$ сразу следует, что если точка $%A_1(x_1,y_1)$% лежит на прямой $%L_1,$% а точка $%A_2(x_2,y_2)$% - на прямой $%L_2,$% то расстояние между ними - не менее $$\sqrt{\frac{1}{2}[(x_1+y_1)-(x_2+y_2)]^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+\frac{16}{3}\right)=\frac{11\sqrt{2}}{3},$$ и эта величина достигается для тех и только тех точек, для которых $$x_1-y_1=x_2-y_2.$$

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
3

Первая прямая $%1/\sqrt2x+1/\sqrt2y-\sqrt2=0$%, вторая $%-1/\sqrt2x-1/\sqrt2y-16/(3\sqrt2)=0$%. Знаки единичных нормальных векторов противоположны - прямые по разные стороны от начала координат. Расстояние есть сумма модулей свободных членов $%11\sqrt2/3$%.

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 14:57

1

@Lyudmyla, на мой взгляд лучше было сказать, что в нормированное уравнение прямой $%l: x\cdot \cos(\phi)+y\cdot \sin(\phi)-d=0$% задаётся углом наклона $%\phi$% и расстоянием от начала координат $%d$% (которое определяется с точностью до направления)... Тогда расстояние между параллельными прямыми равно $%|d_1-d_2|$%...

(22 Ноя '13 15:55) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

В начале надо было сказать, что прямые параллельны (в противном случае расстояние будет нулевым)... тогда расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до второй...

Для расстояния от точки $%A(x_0;y_0)$% до прямой $%l:\, ax+by+c=0$% есть формула, которая обычно выводится на лекциях: $$\rho(A;l)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ При желании эту формулу можно модифицировать под расстояние между двумя параллельными прямыми...

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 5:37

@all_exist: конечно, оба способа годятся, но в данном случае прямые идут под углом 45 градусов, поэтому имеет смысл опереться на этот факт, а не на формулу общего вида.

(22 Ноя '13 6:03) falcao

@falcao, я понимаю, что Вы любите разбирать частные случаи... но общая формула тем хороша, что не зависит от размерности пространства... ведь при переходе в трёхмерное пространство первый способ уже не годится...

На плоскости, конечно, способ, указанный @trongsund, работает хорошо.. но при чём тут указание на "45 градусов"... рассуждения от угла не зависят...

(22 Ноя '13 14:41) all_exist

@falcao, кроме того, я не претендую на абсолютную истину, а просто указываю другой путь решения...

(22 Ноя '13 14:44) all_exist

@all_exist: да, я Вас так и понял, что Вы предлагаете другой путь решения. Речь всего лишь о том, какого рода способы предпочтительнее. Скажем, если бы расстояние измерялось по оси $%Ox$% или по оси $%Oy$%, то здесь уже формулу никто бы не стал применять. Случай с углом в 45 градусов мало чем отличается от этого. Конечно, для более сложной ситуации, включая трёхмерную, можно либо воспользоваться готовой формулой (для тех, кто её помнит), либо фактически повторить её вывод применительно к задаче, опираясь на методы аналитической геометрии.

(22 Ноя '13 19:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%(1,1)*k$% принадлежит L1

$%k+k=2$%, $%2k=2$%, $%k=1$%

$%|(1,1) * 1| = |(1,1)|=sqrt(2)$%

до L2 $%3k+3k+16 = 0$%

$%k=-16/6 = -8/3$%

$%|(1,1) -8/3| = 8/3 * sqrt(2)$%

а между ними $%8/3 * sqrt(2)+sqrt(2) = 11/3 * sqrt(2)$%

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 23:14

изменен 25 Ноя '13 11:35

@artem00: правильный ответ, полученный в нескольких решениях, это $%11\sqrt2/3$%.

(23 Ноя '13 23:21) falcao

Я так и написал sqrt(2) - это в паскале когда программируешь таким образом записывается корень из 2

(23 Ноя '13 23:38) artem00

А как вот этот символ @ по русски читается?

(23 Ноя '13 23:43) artem00

У Вас там был корень из трёх помимо всего прочего. То есть текст к настоящему моменту изменился. То, что sqrt -- это корень, вещь достаточно общепринятая. Чтобы они принял вид обычного радикала, здесь в формулах применяют "долларовые скобки".

Символ @ используется этим сайтом для выделения имени пользователя, а также для оповещений, если это предусмотрено. Смысл в том, что я не просто пишу слово, а к кому-то обращаюсь.

(24 Ноя '13 2:25) falcao

Нет как по русски произноситься символ @ я хотел бы узнать?

(24 Ноя '13 2:50) artem00

Просто у меня был друг программист и когда я смотрел один сайт в сети раньше видео в сети не было и интернет был очень дорогой там в общем фото обнажённых девиц.

Так вот он мне сказал что этот символ называется "собака"

(24 Ноя '13 3:28) artem00

Я слышал, что официальное название этой буквы -- "А коммерческое", то так никто обычно не говорит. Чаще всего употребляют жаргонный термин "собака" (особенно при произнесении электронных адресов). Если это считается не вполне "приличным", то могут ещё говорить "эт" (в смысле "at").

(24 Ноя '13 4:11) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×697

задан
22 Ноя '13 0:44

показан
1973 раза

обновлен
25 Ноя '13 11:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru