функциональный-анализ - Спектр оператора

Существование последовательности Вейля для случая непрерывного спектра.

Рассмотрим следующее утверждение: если $%\lambda\in\sigma(A)$% и $%\exists c>0:$% $%\forall x\in X$% $%\|x\|=1\implies$% $%\|Ax-\lambda x\|\ge c$%, то $%\lambda\in\sigma_r(A)$%. Предполагая, что $%\lambda\in\sigma_c(A)$%, и строя отрицание написанного утверждения, получим как раз существование последовательности Вейля.

Доказательство утверждения: прежде всего, ясно, что $%\forall x\in X$% $%\|Ax-\lambda x\|\ge c\|x\|$%. Далее, обозначим $%T=A-\lambda I$%, $%X_0=\operatorname{Im}T$%. Поскольку $%\|Tx\|\ge c\|x\|$%, то $%\ker T=\{0\}$%, поэтому $%\lambda\not\in\sigma_p(A)$%, а также $%T$% инъективен. Если бы он был сюръективен, то, по теореме Банаха, он был бы непрерывно обратим, что невозможно, ввиду $%\lambda\in\sigma(A)$%. Таким образом, $%X_0\ne X$%.

Рассмотрим оператор $%T_0:X\to X_0$% такой, что $%T_0x=Tx$% при $%x\in X$%. Ясно, что $%T_0$% биективен и для него $%\|T_0x\|\ge c\|x\|$%, поэтому, по известному критерию, $%T_0$% непрерывно обратим. Выберем $%y_n\in X_0$% такой, что $%y_n\to y$%, тогда $%T_0^{-1}y_n\to T_0^{-1}y$%, т.е. $%x_n\to T_0^{-1}y$%, где $%x_n=T_0^{-1}y_n\in X$%. Т.к. $%X$% -- банахово, то $%T_0^{-1}y\in X$%, а потому $%y\in X_0$%. Таким образом, $%X_0$% замкнуто, а потому замыкание образа оператора $%T$% не совпадает со всем $%X$%, т.е. $%\lambda\in\sigma_r(A)$%.