теория-групп - Преобразование Тице

Введём новые образующие $%c=b$%, $%d=ab$%. Сразу ясно, что $%c^2=1$%. Соотношение $%ab=ba^2$% можно записать как $%ab=ba^{-1}$% ввиду $%a^3=1$%. Из этого следует, что $%aba=b$%, а потому $%(ab)^2=b^2=1$%. При этом получается $%d^2=1$%. Наконец, $%dc=ab^2=a$%, откуда $%(dc)^3=1$%, а потому и $%(cd)^3=1$%.

Новые соотношения выведены, и теперь надо удалить старые. Сначала удаляем $%ab=ba^2$%, так как оно выводится из остальных соотношений: берём $%d^2=1$%, то есть $%abab=1$%, записываем его как $%ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba^2$% ввиду $%b^2=1$%, $%a^3=1$%. Теперь удаляем $%a^3=1$%, так как $%a^3=(abb)^3=(dc)^3=1$% (последнее следует из $%(cd)^3=1$% даже в свободной группе). Наконец, $%b^2=1$% выводится из $%c^2=1$%, и его тоже удаляем. На последнем этапе переписываем соотношения $%c=b$%, $%d=ab$% в виде $%b=c$%, $%a=db^{-1}$%, так как одно равносильно другому, а затем устраняем $%a$% и $%b$%.

В принципе, этого уже достаточно для установления изоморфизма групп, но если ставится задача продемонстрировать ещё один переход, соответствующий другому изоморфизму, то это делается похожим способом. Пусть теперь $%c=ab$%, $%d=ba$%. Как и выше, из $%ab=ba^2$% выводится $%aba=b$%, откуда $%c^2=(ab)^2=aba\cdot b=b^2=1$%. При этом $%d^2=(ba)^2=1$%. Наконец, $%cd=ab^2a=a^2$%, и потому $%(cd)^3=a^6=1$%. Соотношение $%ab=ba^2$% устраняется в точности как и раньше, то есть оно выводится из $%c^2=(ab)^2=1$% с учётом $%a^3=1$%, $%b^2=1$%.

Теперь надо позаботиться о выражении $%a$%, $%b$% через $%c$%, $%d$%. Поскольку $%cd=abba=a^2=a^{-1}$%, мы получаем $%a=d^{-1}c^{-1}=dc$%. При этом $%b=a^{-1}c=cdc$%. Соотношения $%c=ab$% и $%d=ba$% теперь становятся лишними, поскольку $%ab=dccdc=ddc=c$% и $%ba=cdcdc=(cd)^3d^{-1}=d^{-1}=d$%. Лишним будет также $%a^3=1$%, так как оно следует из $%(dc)^3=1$%. Соотношение $%b^2=1$% является следствием того, что $%b^2=cdccdc=cddc=cc=1$%. В итоге можно будет удалить $%a$%, $%b$%, выраженные через $%c$%, $%d$%, и получится то, что нужно.