математика - Неравенство в целых числах

Количество точек на границе треугольника подсчитывается просто, и оно равно $%60$%. Далее, нетрудно подсчитать площадь этого треугольника -- либо по общей формуле, через определитель, либо разбивая прямоугольник $%[-80;60]\times[-60;40]$% на несколько фигур, включая исследуемый треугольник, площадь которых легко вычисляется. Получается значение площади $%S=200$%. Далее можно применить известную формулу Пика, согласно которой площадь многоугольника в узлах целочисленной решётки равна $%B+\Gamma/2-1$%, где $%B$% -- число внутренних целочисленных точек многоугольника, а $%\Gamma$% -- число граничных. Мы знаем, что $%\Gamma=60$%, откуда $%B=200-60/2+1=171$%. В задаче нужно подсчитать значение $%B+\Gamma$%, и оно равно $%231$%.

Имеет смысл рассмотреть другое решение, на формулу Пика не опирающееся. Оно состоит в следующем. Будем использовать уже введённые обозначения $%A(0;0)$%, $%B(60;40)$%, $%C(-80;-60)$%. Построим прямоугольник $%CDBE$%, где $%D(-80;40)$%, $%E(60;-60)$%. В прямоугольнике имеется ровно $%(140+1)(100+1)$% точек (далее под точками понимаются целочисленные), и из них $%21$% лежит на диагонали $%BC$%. Поэтому выше и ниже неё лежат по $%\frac12((140+1)(100+1)-21)=7100$% точек. Нас не интересует то, что лежит ниже диагонали, поэтому имеем $%21+7100$% точек. Из них мы вычитаем то, что лежит выше диагонали $%AC$% в прямоугольнике с указанной диагональю; это будет $%\frac12((80+1)(60+1)-21)=2460$%, а также аналогичное количество для диагонали $%AC$%, которое равно $%\frac12((60+1)(40+1)-21)=1246$%. Наконец, надо вычесть ещё точки прямоугольника с диагональю $%AD$%, не считая его правой и нижней границ, а это $%80\cdot40=3200$%. В итоге получается $%21+7100-2460-1240-3200=231$%.