Сколько пар целых чисел (х; у) удовлетворяет системе неравенств 2х>=3y; 3x>=4y; 5x-7y<=20

задан 22 Ноя '13 13:20

По стройте область , заданную этими неравенствами , и посмотрите.

(22 Ноя '13 14:43) epimkin

Область я построил, получается очень узкий и с вершинами имеющими большие координаты (-80; -60); (60; 40); (0; 0) и по графику точки не удается посчитать. Должен быть аналитический метод решения.

(22 Ноя '13 14:47) serg55
10|600 символов нужно символов осталось
3

Количество точек на границе треугольника подсчитывается просто, и оно равно $%60$%. Далее, нетрудно подсчитать площадь этого треугольника -- либо по общей формуле, через определитель, либо разбивая прямоугольник $%[-80;60]\times[-60;40]$% на несколько фигур, включая исследуемый треугольник, площадь которых легко вычисляется. Получается значение площади $%S=200$%. Далее можно применить известную формулу Пика, согласно которой площадь многоугольника в узлах целочисленной решётки равна $%B+\Gamma/2-1$%, где $%B$% -- число внутренних целочисленных точек многоугольника, а $%\Gamma$% -- число граничных. Мы знаем, что $%\Gamma=60$%, откуда $%B=200-60/2+1=171$%. В задаче нужно подсчитать значение $%B+\Gamma$%, и оно равно $%231$%.

Имеет смысл рассмотреть другое решение, на формулу Пика не опирающееся. Оно состоит в следующем. Будем использовать уже введённые обозначения $%A(0;0)$%, $%B(60;40)$%, $%C(-80;-60)$%. Построим прямоугольник $%CDBE$%, где $%D(-80;40)$%, $%E(60;-60)$%. В прямоугольнике имеется ровно $%(140+1)(100+1)$% точек (далее под точками понимаются целочисленные), и из них $%21$% лежит на диагонали $%BC$%. Поэтому выше и ниже неё лежат по $%\frac12((140+1)(100+1)-21)=7100$% точек. Нас не интересует то, что лежит ниже диагонали, поэтому имеем $%21+7100$% точек. Из них мы вычитаем то, что лежит выше диагонали $%AC$% в прямоугольнике с указанной диагональю; это будет $%\frac12((80+1)(60+1)-21)=2460$%, а также аналогичное количество для диагонали $%AC$%, которое равно $%\frac12((60+1)(40+1)-21)=1246$%. Наконец, надо вычесть ещё точки прямоугольника с диагональю $%AD$%, не считая его правой и нижней границ, а это $%80\cdot40=3200$%. В итоге получается $%21+7100-2460-1240-3200=231$%.

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Все множество, которое удовлетворяет даной системе, есть внутренняя часть треугольника (с границей) АВС, где А(0;0); В(60;40); С(-80;-60). Треугольник очень "худенький" и "длинный", т.к. растояние от точки А до прямой ВС равно $%5x-7y-20=0$% равно $%20/ \sqrt{74}=2,32..$%, т.е. точек там не так уж и много во внутренней части. На отрезке АВ лежат точки $%(3t; 2t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке АС $%(4t; 3t), t>=-20, t<=0$%, т.е. 21 точка. На отрезке BС $%(-80+7t; -60+5t), t<=20, t>=0$%, т.е. 21 точка. Осталось как-то оценить внутренние точки.

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 14:48

Спасибо. Но точки на прямой найти не очень сложно, главная проблема определить количесиво целых решений внутри треугольника.

(22 Ноя '13 16:18) serg55

Можно попробовать сделать так: решить в целых числах совокупность неравенства 3y/2<=x<=4+7y/5 и 4y/3<=x<=4+7y/5. В первом неравенстве рассматривать значения у кратные 10 (общий знаменатель выражений 3у/2 и 7у/5). Аналогично для второго неравенства, только значения у, кратные 15.

(22 Ноя '13 16:40) serg55

Исходя из этих соображений, у меня получается количество целых пар 64. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил, если не сложно. Заранее спасибо.

(22 Ноя '13 17:14) serg55
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,760

задан
22 Ноя '13 13:20

показан
928 раз

обновлен
22 Ноя '13 18:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru