Задача: сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: $$xyz=2009\ast2010\ast2011$$ Разложим на простые множители: $$xyz=2\ast3\ast5\ast7\ast7\ast41\ast67\ast2011$$ Допустим решения $%(2,3,4)$% и $%(2,4,3)$% различные. Тогда проведём следующее рассуждение. Во-первых пронумеруем семёрки как $%7_1$% и $%7_2$%. Тогда каждое из чисел можно отнести к одной из 3 переменных. Всего способов это сделать $%3^8$%. Теперь сотрём индексы у семёрок. Решений станет в два раза меньше, так как есть 2 способа их переставить. $%\frac{3^8}{2}=3280.5$% В чём ошибка?

задан 22 Ноя '13 21:46

изменен 22 Ноя '13 21:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

При таком способе решения, который Вы рассматриваете, деление на 2 соответствует случаю, когда $%7_1$% и $%7_2$% попали в разные сомножители. Такой случай учитывается при подсчёте дважды, в то время как он один и тот же. Но если семёрки попали в один сомножитель, то делить на 2 уже не надо. Здесь проще рассуждать немного по-другому: для каждого из простых чисел кроме семи имеется 3 способа куда-то его определить, и получается $%3^6$%. Для семёрок же есть два варианта: разместить их вместе (3 способа), или по отдельности (тоже 3 способа); итого получается 6, и в ответе будет $%6\cdot3^6=2\cdot3^7=4374$%. Это значит, что $%3^8$% надо было домножать на 2/3, если сравнивать с тем, что было сделано.

Представляет интерес также версия задачи, когда решения, отличающиеся перестановкой, считаются разными. Здесь можно заметить, что ввиду специфики рассматриваемых чисел, в тройке $%(x,y,z)$% могут быть одинаковые числа только если оба они равны 1 или 7. Таких случаев всего 6, если их рассматривать как различные, а в противном случае их 2. Все остальные тройки подразделяются на группы по $%3!$% троек в каждой, отличающихся лишь порядком следования чисел. Поэтому ответом в этом случае будет $%(2\cdot3^7-6)/6+2=730$%.

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×869

задан
22 Ноя '13 21:46

показан
466 раз

обновлен
22 Ноя '13 22:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru