Сколько существует 7-значных чисел таких, что первые 4 цифры идут по возрастанию(первая половина числа) а далее идет убывание чисел: например подойдет число 2457630.

Это задача с уже прошедшей олимпиады, при её решении я исходил из того, что чисел всего 10: 0123456789.

При этом 0 может быть только на конце при заданном условии.

Комбинаций с нулем 36 , на середину числа можно поставить числа 6-ю способами(с 4 до 9) начальных комбинаций ("возрастающих") 55, конечных(убывающих) 116

и у меня получилось общих комбинаций, исключая ноль $%55\cdot116\cdot6=38280$%

комбинаций с нулями: $%55\cdot6\cdot36=11880$%

и складываю получим всего способов 50160. количество: 55, 116,36,6: это я нашел как $%C_n^k$% для отдельных чисел.

задан 23 Ноя '13 18:03

изменен 23 Ноя '13 18:15

falcao's gravatar image


215k1742

10|600 символов нужно символов осталось
0

Непонятно, как ставилась задача: имелось в виду строгое или нестрогое возрастание.
В первом случае, если средняя цифра равна $%k$%, получаем сумму при $%k$% от 4 до 9 $%C_{k-1}^3C_{k}^3.$%
Во втором получаем сумму $%C^3_{k+2}C^3_{k+3}$% при $%k$% от 1 до 9.

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 18:28

а про строгость и нестрогость ничего не было сказано) был приведен пример числа из возрастающих и убывающих разных чисел с 0 на конце и вопрос: сколько таких чисел всего)

(23 Ноя '13 18:36) Dragon65

От этого зависит ответ ) Просто в первом случае не допускается, например, 1123210, а во втором допускается

(23 Ноя '13 18:40) trongsund

понял, видимо все же по-Вашему подразумевалось строго:k от 4 до 9 )

(23 Ноя '13 18:40) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня получился другой ответ. Сейчас я изложу решение. Вашего рассуждения, к сожалению, не понял. Например, мне непонятен уже смысл фразы "комбинаций с нулём 36": какие именно комбинации имелись в виду?

Условие я понимаю так, что некоторые цифры могут повторяться. Например, число 1358630 удовлетворяет условиям задачи.

В середине может стоять цифра от 4 до 9. Пусть это цифра $%m$%. Тогда перед ней стоят три попарно различных цифры, которые выбираются от $%1$% до $%m-1$%. Такой выбор может быть осуществлён $%C_{m-1}^3$% способами. После средней цифры стоят также три попарно различных цифры, выбираемые от $%0$% до $%m-1$%. Способов выбора здесь $%C_m^3$%.

Итого получается сумма $$\sum\limits_{m=4}^9C_{m-1}^3C_m^3=7608.$$

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 18:36

При нестрогом возрастании ответ будет больше

(23 Ноя '13 18:42) trongsund

при решении я вроде разбил число на 3 части: первые 3 цифры- 1 часть, середка, и последние 3 цифры. вот.

И комбинации с нулем это как раз в последней группе цифр (0 на конце) Наверное я всё-же неправильным путем пошёл,в комбинаторных задачах я ещё не научился действовать "проще".

(23 Ноя '13 18:50) Dragon65

@trongsund: возрастание чисел "по умолчанию" является строгим. Про последовательность типа 1, 2, 2, 3 правильно говорить, что она неубывающая.

(23 Ноя '13 18:50) falcao

Для каждой группы цифр(1-ой и 3-ей) я составлял кол-во комбинаций для каждого числа -т.е. каждому числу можно выбрать по два числа из единственного количества столько то раз

(23 Ноя '13 18:52) Dragon65

@Dragon65: к сожалению, я не понял Вашей идеи. Как получается число 36, или, например, 55? В любом случае, было бы полезно понять, где именно в рассуждении была допущена ошибка, но при этом надо знать, каков был сам принцип подсчёта.

(23 Ноя '13 19:06) falcao

Допустим для 0 по 3 комбинации исключая цифру 9: для числа 2:210=$%C_2^2=1способ$% для числа 3:320,310,321=$%C_3^2=3способа$% и так до числа 8, для 8: $%C_8^2=28способов$% и получится в итоге 84 способа, похоже я ошибся, или запутался))

(23 Ноя '13 19:33) Dragon65

@Dragon65: я спрашивал про числа 36 и 55. Но здесь, видимо, основная ошибка вот в чём: когда среднее число выбирается 6 способами, то не учитывается, что количество способов на "флангах" зависит от того, что было выбрано. Чем меньше число в середине, тем это количество способов выбрать "фланги" будет меньше. В таких случаях правило произведения неприменимо, и надо использовать правило суммы, считая ответ по отдельности для каждого $%m$% в середине.

(23 Ноя '13 19:46) falcao

основной вывод- спасибо)

как уж я решал на олимпиаде, "общий" вид я привел,а в подробностях забыл, основная ошибка ясна)

(23 Ноя '13 20:03) Dragon65
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×967

задан
23 Ноя '13 18:03

показан
920 раз

обновлен
23 Ноя '13 20:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru