При каком значении параметра a значение выражения $%x_1^2+x_2^2$% будет наименьшим, если $%x_1$%, $%x_2$% — корни уравнения $%x^2+4ax+4a–3=0$%?

задан 23 Ноя '13 18:20

изменен 23 Ноя '13 23:17

falcao's gravatar image


221k2243

Откорректируйте, пожалуйста, условие. Судя по всему, имелась в виду сумма квадратов корней, то есть выражение $%x_1^2+x_2^2$%.

(23 Ноя '13 18:39) falcao

да, просто здесь не совсем получается так написать

(23 Ноя '13 18:53) Амелия_TO

пишешь x_1^2+x_2^2 и окружаешь двумя значками $%

(23 Ноя '13 19:38) trongsund
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если имеется в виду сумма квадратов, то проще всего опереться на теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения $%x^2+px+q=0$% сумма корней равна $%x_1+x_2=-p$%, а произведение равно $%x_1x_2=q$%. Поэтому для суммы квадратов имеем $%x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q$%. В данном примере получается значение $%16a^2-8a+6=(4a-1)^2+5$%. Минимальное значение равно $%5$%, и оно достигается при $%a=1/4$%. Уравнение при этом имеет вид $%x^2+x-2=0$%, и значения корней равны $%1$% и $%-2$%.

Можно также заметить, что дискриминант исходного уравнения всегда положителен, и корни оно имеет при любом $%a$%, но при таком способе решения достаточно лишь итоговой проверки, которая показывает, что значение $%5$% достигается.

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 18:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Запишем корни уравнения в зависимости от параметра:
$%x_1= -2a+\sqrt{4a^2-4a+3}$%
$%x_2= -2a-\sqrt{4a^2-4a+3}$%
$%x_1^2 +x_2^2 = 8a^2-4a+3$% при условии $%4a^2-4a+3>0$%, но это всегда верно
минимум выражения дост. при $%a = 1/4\space(x_1^2 + x_2^2 = 2{,}5)$%
Всё )

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 18:38

изменен 23 Ноя '13 18:43

@trongsund: у Вас значение суммы корней получилось отрицательное!

(23 Ноя '13 18:42) falcao

опечатался ( Исправил.

(23 Ноя '13 18:44) trongsund
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,876

задан
23 Ноя '13 18:20

показан
1709 раз

обновлен
23 Ноя '13 23:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru