|
Дан выпуклый 20-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин). задан 23 Ноя '13 19:09 
Амелия_TO |
|
Пусть диагональ $%AC$% пересеклась с диагональю $%BD$%. Это диагонали четырёхугольника $%ABCD$%. Зная этот четырёхугольник, мы знаем его диагонали и их точку пересечения (они обязательно пересекутся ввиду выпуклости). Поскольку три диагонали во внутренних точках не пересекаются, искомое точек пересечения будет равно количеству четырёхугольников с вершинами, выбираемыми из 20 точек. Количество таких способов выбора равно $$C_{20}^4=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=4845.$$ отвечен 23 Ноя '13 19:22 
falcao |
|
Очевидно, что две диагонали от одной вершины могут пересекаться только по вершине. Значит, для каждой такой пары есть 4 точки (вершины), и для каждых 4 точек найдутся 2 пересекающиеся диагонали с вершинами в этих точках. отвечен 23 Ноя '13 19:23 
trongsund |