Дан выпуклый 20-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин).

задан 23 Ноя '13 19:09

изменен 24 Ноя '13 21:54

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть диагональ $%AC$% пересеклась с диагональю $%BD$%. Это диагонали четырёхугольника $%ABCD$%. Зная этот четырёхугольник, мы знаем его диагонали и их точку пересечения (они обязательно пересекутся ввиду выпуклости). Поскольку три диагонали во внутренних точках не пересекаются, искомое точек пересечения будет равно количеству четырёхугольников с вершинами, выбираемыми из 20 точек. Количество таких способов выбора равно $$C_{20}^4=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=4845.$$

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 19:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

Очевидно, что две диагонали от одной вершины могут пересекаться только по вершине. Значит, для каждой такой пары есть 4 точки (вершины), и для каждых 4 точек найдутся 2 пересекающиеся диагонали с вершинами в этих точках.
Итого это $%C_{20}^4 = 285 \cdot 17 = 4845.$%

ссылка

отвечен 23 Ноя '13 19:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394

задан
23 Ноя '13 19:09

показан
2243 раза

обновлен
23 Ноя '13 19:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru