В основании пирамиды ABCDT лежит ромб ABCD с острым углом А, равным 60, и стороной, равной 2. Высота пирамиды АТ равна 1. Определите угол между прямой АС и плоскостью СВТ.

задан 23 Ноя '13 21:46

изменен 24 Ноя '13 21:55

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
5

@Amalia, "угол между прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость" ( это Вы знаете =)), т.е. ищем проекцию прямой $%AC$% на плоскость боковой грани $%CBT$%. А для этого нужен перпендикуляр к плоскости $%CBT$%, проведенный из точки на прямой $%AC$% ( из точки $%A$%).
Докажите, что перпендикуляром из т. $%A$% к пл-ти $%CBT$% будет $%AK$% ( на рисунке ) alt text
Какие "слова" должны быть в доказательстве - наверное, зависит от того, какие теоремы у вас "звучали", что вы доказывали.. я бы говорила примерно так..
Проведем $%AE$% перпендикулярно $%BC$% ( точка $%E$% - на продолжении $%BC$% за точку $%B$%); тогда - по теореме о 3-х перпендикулярах - и $%TE$% тоже перпендикулярно $%BC$%, т.е. прямая $%BC$% перпендикулярна двум прямым ($%AE$% и $%TE$%), лежащим в плоскости $%ATE$%, т.е. $%BC$% перпендикулярна всей плоскости $%ATE$%. А тогда получаем, что перпендикулярны плоскости $%CBT$% и $%ATE$% ( так как пл-ть $%CBT$% проходит через прямую ($%BC$%), перпендикулярную плоскости $%ATE$%). А если "знаем" о перпендикулярности плоскостей $%CBT$% и $%ATE$% - то достаточно в плоскости $%ATE$% провести $%AK$% перпендикулярно к $%TE$% ( прямая $%TE$%, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная к их линии пересечения, будет перпендикуляром ко всей второй плоскости ). Т.е. $%CK$% - это проекция прямой $%AC$% на плоскость грани $%CBT$%, и угол, который ищем - это $%ACK$%
( А расчеты - @Amalia, дальше уже Вы сами.. =) $%AE = \sqrt{3}$%, $%TE = 2$%, поэтому в прямоугольном треугольнике $%EAT$% получаем высоту $%AK = ..$%, и т.д. )

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 6:41

@ЛисаА: я вчера примерно таким способом пытался рассуждать, то есть построил несколько перпендикуляров, применил пару раз что-то типа теоремы косинусов, но степень надёжности рассуждения меня не устроила, а проверять детали было уже некогда. Сейчас я подумал, что здесь координатный способ, скорее всего, уместен. По крайней мере, если решать "для себя", то я бы выбрал такой способ как более надёжный. Но у Вас, судя по всему, получилось просто, то есть все числа достаточно хорошие получаются.

(24 Ноя '13 10:41) falcao

@falcao А как тут координаты вводить?

(24 Ноя '13 11:42) Amalia
1

@Amalia: начало координат тут понятно какое -- точка $%A$%. Ось абсцисс можно направить хоть по $%AB$%, хоть по $%AC$% -- это не принципиально. Потом довольно легко выписывается уравнение плоскости $%TBC$%, и начало координат на неё проектируется через направляющий вектор. Этот способ можно использовать как дополнительный -- для численной проверки ответа. Скажем, я своим вычислениям редко доверяю, и пока не решу независимо двумя способами с совпадающими ответами, уверенности у меня не возникает.

(24 Ноя '13 11:55) falcao

А оси у и z куда направить? А как СК найти?

(24 Ноя '13 11:57) Amalia
1

@Amalia: координатное решение получается несложное (я проверил), но то, что предложила @ЛисаА, ещё лучше. Что касается осей, то мне казалось очевидным, что ось $%Oz$% идёт по $%AT$%, раз она перпендикулярна плоскости основания. Если $%Ox$% направить по $%AB$%, то $%Oy$% пойдёт в плоскости основания перпендикулярно ей. Находить$%CK$% не обязательно: достаточно знать $%AK$%, а для этого должны быть известны координаты точки $%K$%. А это пересечение прямой и плоскости, про которые всё известно.

(24 Ноя '13 13:36) falcao

Треугольник АКС-прямоугольный? Я нашла $$AK=\sqrt{3}/2$$

(24 Ноя '13 13:51) Amalia

@Amalia: да, это верно, и остаётся поделить на $%AC$%, чтобы найти синус угла. Всё, что касается перпендикулярностей, исчерпывающе обосновано в ответе @ЛисаА.

(24 Ноя '13 14:57) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%A = (0, 0, 0), C=( 2\sqrt3,0, 0), T=(0, 0, 1), B= (\sqrt3, 1, 0)$%.
Тогда найдём уравнение плоскости $%CBT$% в виде $%ax+by+cz+d=0$%.
Она пересекает ось z в точке z = 1, значит, $%c=-d.$%
Плоскость пересекает ось $%x$% в точке $%x=2\sqrt3,$% значит, $%d=-2\sqrt3a.$%
Также плоскость содержит точку $%(\sqrt3, 1, 0),$% а значит, и точку $%(0, 2, 0)$%. Значит, $%d=-2b.$%
При нулевом d получается нулевое уравнение, значит, плоскость через начало координат не проходит.
Находим отвес к нашей плоскости, например, $%(1, \sqrt3, 2\sqrt3).$% Его длина равна 4.
Длина $%AC,$% очевидно, равна $%2\sqrt3.$%
Сами векторы нам известны. Остаётся найти лишь угол между ними, вычесть из $%\pi/2$% - и мы получим ответ )

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 15:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Угол между прямой и плоскостью ($%\alpha;\beta;\angle(\alpha,\beta);SA;SB)$%. Плоскости $%\alpha$% и $%\beta$% пересекаются по прямой $%c.$% Из точки $%S,$% лежащей в плоскости $%\alpha$% к прямой $%c$% проведены перпендикуляр $%SA$% и наклонная $%SB.$% Найти угол $%\gamma$% между прямой $%SB$% и плоскостью $%\beta$% , если угол между плоскостями известен (равен $%\varphi$%).

Ответ. $%\sin\gamma=\frac{SA\cdot\sin\varphi}{SB}.$%

alt text

Из точки $%O$% (точки пересечения диагоналкй основания пирамиды) проведите перпендикуляр $%OF$% к ребру $%TC$%, и решите

Угол между прямой и плоскостью ($%(TAC);(CBT);\angle(TAC),(CBT));OF;OC).$%

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 19:27

изменен 25 Ноя '13 20:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,420
×418
×77

задан
23 Ноя '13 21:46

показан
1816 раз

обновлен
25 Ноя '13 20:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru