Заметила что на вашем сайте могут помочь с теорией групп, и по-этому прошу у вас помощи. Показать с помощью преобразований Тице, что циклическая группа порядка mn, где m и n взаимно просты, имеет представление <b, c; b^m, c^n, bc = cb> Буду очень благодарна в любой помощи.

задан 23 Ноя '13 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Покажем, как от данного в задаче представления перейти к "родному" представлению циклической группы порядка $%mn$%, то есть к $%\langle\,x\mid x^{mn}\,\rangle$%. Этим будет доказано, что рассматриваемые группы изоморфны.

Поскольку $%m$% и $%n$% взаимно просты, найдутся такие целые числа $%u$%, $%v$%, для которых $%mu+nv=1$% (это известная теоретико-числовая лемма). Зафиксируем такие $%u$%, $%v$% и проделаем следующие преобразования Тице. Сначала добавим новый образующий $%x$% вместе с равенством $%x=bc$%. Далее, возведём $%x$% в степень $%mn$% и воспользуемся соотношениями коммутативности, в силу которых $%x^{mn}=(bc)^{mn}=b^{mn}c^{mn}=(b^m)^n(c^n)^m=1$% с учётом соотношений $%b^m=1$%, $%c^n=1$%.

Теперь надо выразить $%b$% и $%c$% в качестве степеней $%x$% (это неизбежно должно быть так, если группа является циклической с образующим $%x$%). Прежде всего, $%b=b^{mu+nv}=(b^m)^ub^{nv}=b^{nv}$% и $%c=c^{mu+nv}=c^{mu}(c^n)^v=c^{mu}$%. Далее, $%x^m=(bc)^m=b^mc^m=c^m$% и $%x^n=(bc)^n=b^nc^n=b^n$%. Из этих соотношений следует, что $%b=b^{nv}=(b^n)^v=(x^n)^v=x^{nv}$% и $%c=c^{mu}=(c^m)^u=(x^m)^u=x^{mu}$%. Таким образом, мы вывели соотношения $%b=x^{nv}$% и $%c=x^{mu}$%, где $%b$% и $%c$% равны степеням $%x$%.

Теперь соотношение $%bc=bc$% будет следовать из того, что любые степени $%x$% перестановочны, и его можно отбросить. Соотношение $%b^m=1$% будет следовать из того, что $%b^m=(x^{nv})^m=(x^{mn})^v=1$%, и его тоже отбрасываем как избыточное. Аналогично, соотношение $%c^n=1$% получается как следствие имеющихся: $%c^n=(x^{mu})^n=(x^{mn})^u=1$%. Его тоже удаляем. Остаётся одно соотношение $%x^{mn}=1$% и два равенства, выражающие $%b$% и $%c$% через $%x$%. Их теперь тоже удаляем вместе с лишними образующими, и получаем один образующий $%x$% и одно определяющее соотношение $%x^{mn}=1$%.

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 0:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×667

задан
23 Ноя '13 23:31

показан
369 раз

обновлен
24 Ноя '13 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru