Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $%b_1$%, $%b_2$%,…, если число $%0,1$% является корнем уравнения $%b_{12}x^{11}+…+b_3x^2+b_2x+b_1=0$%.

задан 24 Ноя '13 0:21

изменен 24 Ноя '13 0:30

falcao's gravatar image


209k1636

10|600 символов нужно символов осталось
1

Опять несколько странно выглядит вопрос о наибольшем значении: знаменатель прогрессии здесь однозначно определяется. Пусть он равен $%q$%, тогда $%b_2=b_1q$%, $%b_3=b_1q^2$%, $%\dots$%, $%b_{12}=b_1q^{11}$%. Подставим эти числа в уравнение, сокращая на $%b_1\ne0$%. Получится $%1+qx+(qx)^2+\cdots+(qx)^{11}=0$% (я записал сумму справа налево). Теперь можно обе части домножить на $%1-qx$%, и получится $%1-(qx)^{12}=0$% в силу известного тождества $$(1-y)(1+y+y^2+\cdots+y^n)=1-y^{n+1}.$$

Теперь положим $%x=0,1$%, и тогда все равенства будут выполняться. В частности, $%(qx)^{12}=1$%, откуда $%qx=\pm1$%, то есть $%q=\pm10$%. Но из этих двух вариантов подходит только один (возможно, слово "наибольший" как раз потому и присутствует, чтобы спровоцировать на ошибку в виде заключения $%q=10$%). У нас изначально было равенство $%1+qx+(qx)^2+\cdots+(qx)^{11}=0$%, и оно верно лишь при $%qx=-1$%. Поэтому единственное значение $%q$% равно $%-10$%.

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 0:42

Я не понял, почему у нас в конце получается ответ только -10?

(5 Янв '14 15:00) nickpon

@nickpon: у меня в конце получилось уравнение $%qx=-1$%, а через $%x$% было обозначено $%0,1$%. Значит, $%q=-1/0,1=-10$%.

(5 Янв '14 15:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,529

задан
24 Ноя '13 0:21

показан
2094 раза

обновлен
6 Янв '14 21:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru