|
Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $%b_1$%, $%b_2$%,…, если число $%0,1$% является корнем уравнения $%b_{12}x^{11}+…+b_3x^2+b_2x+b_1=0$%. задан 24 Ноя '13 0:21 
Амелия_TO |
|
Опять несколько странно выглядит вопрос о наибольшем значении: знаменатель прогрессии здесь однозначно определяется. Пусть он равен $%q$%, тогда $%b_2=b_1q$%, $%b_3=b_1q^2$%, $%\dots$%, $%b_{12}=b_1q^{11}$%. Подставим эти числа в уравнение, сокращая на $%b_1\ne0$%. Получится $%1+qx+(qx)^2+\cdots+(qx)^{11}=0$% (я записал сумму справа налево). Теперь можно обе части домножить на $%1-qx$%, и получится $%1-(qx)^{12}=0$% в силу известного тождества $$(1-y)(1+y+y^2+\cdots+y^n)=1-y^{n+1}.$$ Теперь положим $%x=0,1$%, и тогда все равенства будут выполняться. В частности, $%(qx)^{12}=1$%, откуда $%qx=\pm1$%, то есть $%q=\pm10$%. Но из этих двух вариантов подходит только один (возможно, слово "наибольший" как раз потому и присутствует, чтобы спровоцировать на ошибку в виде заключения $%q=10$%). У нас изначально было равенство $%1+qx+(qx)^2+\cdots+(qx)^{11}=0$%, и оно верно лишь при $%qx=-1$%. Поэтому единственное значение $%q$% равно $%-10$%. отвечен 24 Ноя '13 0:42 
falcao |