Оказалось, что предыдущий вопрос, полностью помочь мне не смог, но я рад тому, что хотя бы приблизил. Вопрос вот в чём - если представить дугу $%AC$% прямой и отложить на ней отрезок $%AD$%, заданной длины, то возможно, определить координаты точки $%D$% на самой окружности не прибегая к косинусам и синусам?

alt text

Если под "прямой" Вы подразумеваете хорду, то мне это не надо. Прямую я нарисовал, для большего понимания, того, что дуга $%AC$% будет разделена на 180 равных частей ( я об этом кажется упомянул в первом варианте вопроса, а после редактирования забыл упомянуть ):$$\frac{11.33}{180}=0.0629444444444444$$ И искать координаты точки $%D$% зная значение этих частей. То есть получается, что нужно найти координаты, зная длину дуги: $$L = 2.5\cdot 0.0629444444444444 = 0.157361111111111$$ А как это сделать.. Если есть способ без углов, я буду очень рад, если нет и это можно сделать только с вычислением углов, то я тоже буду очень рад. А ведь и хордами можно? Длина дуги есть, начальная координата хорды, то есть. ................................................................................................................................. Подскажите, где я не правильно понял Ваше обьяснение - $$\varphi = \frac{2.5}{3.61}=0.6925207756232687$$ дальше нахожу косинус и синус угла $%\alpha $%? для этого делю координаты точки $%A$% на радиус $$cos \alpha =\frac{5}{3.61}=1.3850415512465374$$ $$sin \alpha =\frac{8}{3.61}=2.2160664819944598$$ И если честно, то у меня после этих трех операций, уже есть сомнения в правильности моего понимания Вашего ответа. В итоговой формуле, $%a$% и $%b$%, это косинус и синус или сами координаты?

задан 24 Ноя '13 0:35

изменен 24 Ноя '13 17:53

Просьба общего характера: по возможности избегать упоминания вещей, которые не имеют отношения к математической сути и не несут полезной информации. Например, понятие "точки регистрации" или "ratation" (если это вращение, то вроде должно быть "rotation") не помогают понять суть дела. Если речь о нахождении координат точки $%C$%, центрально симметричной $%A$%, то это совсем просто: там получится $%(11;4)$%. Полусуммой точек $%A$% и $%C$% при этом будет $%B$%. Что касается вращения относительно $%A$%, то ясно, что прямоугольник при этом всегда выйдет за пределы круга. Что имелось в виду?

(24 Ноя '13 1:40) falcao

@falcao: избегать, понятно.

(24 Ноя '13 2:37) shatal

В таком виде всё намного яснее, но в связи с числами на картинке возникает один вопрос. В формулировке задачи Вы говорите о расстоянии между точками $%A$% и $%D$%, а оно, как и всякое расстояние, измеряется по прямой. В этом случае можно было бы предложить математическое решение с формулами. Однако из картинки я вижу, что число 11,33 есть приближённое значение длины дуги $%AC$%, и тогда $%AD$% как часть этого расстояния представляет собой, видимо, длину дуги $%AD$%. Если это так, то решение тоже есть, но оно уже связано с привлечением синусов.

(24 Ноя '13 3:23) falcao

@falcao: Я оговорился, когда сказал - хотел сказать, без углов, так, как косинус и синус можно найти векторами, а угол уже не любимые мной arc функции. Подскажете, как найти координаты?

(24 Ноя '13 13:06) shatal

Если Вы измеряете расстояние в длинах дуг, то это переход к такой системе измерений, где тригонометрия появляется с неизбежностью. Одно другому равносильно, и это достаточно просто обосновать. Если бы та задача, о которой говорится, имела "алгебраическое" решение, то такое же решение имела бы и задача нахождения синуса угла.

Если Вас интересует нахождение координаты точки $%D$% при известном расстоянии между $%A$% и $%D$% по прямой, а не по дуге, то это я, конечно, могу рассказать.

(24 Ноя '13 13:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Постараюсь описать процедуру нахождения координат точки $%D$%, исходя из известной длины дуги $%AD$%. Частный случай, когда берётся 1/180 от длины полуокружности, я при этом анализировать не буду, хотя добавлю по этому поводу в конце одно замечание.

Итак, пусть длина дуги $%AD$% дана (скажем, $%2,5$%); делим её на длину дуги полуокружности $%AC$% (то есть на $%11,33$%) и умножаем на $%\pi$%. Это даёт нам значение угла $%ABD$% в радианах; обозначим этот угол через $%\varphi$%.

Радиус окружности $%r$% также будем считать известным. То число, которое приближённо равно $%11,33$%, это не что иное как $%\pi r$%, поэтому длину дуги $%AD$% можно было сразу делить на $%r$%, получая значение угла. Координаты вектора $%\vec{BA}$% представим как $%r\cos\alpha$% и $%r\sin\alpha$%, где угол $%\alpha$% в явном виде находить не будем, а просто будем считать, что нам известны значения его косинуса и синуса: это координаты вектора $%\vec{BA}$%, поделённые на $%r$%.

Теперь заметим, что если точке $%A$% соответствует угол $%\alpha$%, то точке $%D$% соответствует угол $%\alpha-\varphi$% (минус берётся потому, что на $%\varphi$% идёт поворот по часовой стрелке, против "основного" направления поворота). Следовательно, вектор $%\vec{BD}$% будет иметь координаты $%r\cos(\alpha-\varphi)$% и $%r\sin(\alpha-\varphi)$%. Первая величина равна $%r\cos\alpha\cos\varphi+r\sin\alpha\sin\varphi=a\cos\varphi+b\sin\varphi$%, где $%(a,b)$% -- известные нам координаты вектора $%\vec{BA}$%. Вторая величина равна $%r\sin\alpha\cos\varphi-r\cos\alpha\sin\varphi=b\cos\varphi-a\sin\varphi$%.

Введём следующие обозначения: пусть $%\vec{BA}(a;b)$%; $%B(x_0;y_0)$%. Тогда$$D(a\cos\varphi+b\sin\varphi+x_0;b\cos\varphi-a\sin\varphi+y_0).$$ Формулы сами по себе достаточно простые.

Теперь замечание по поводу угла в 1 градус. Для "малых" углов значение синуса угла приблизительно равно самому углу (в радианах). Поскольку сам угол мы находить умеем, то синус становится приближённо известен (он приблизительно равен $%\varphi$%), а косинус через него выражается по формуле $%\sqrt{1-\sin^2\varphi}$%, и приближённо можно считать его значение равным $%1-\varphi^2/2$%, чтобы не иметь дела с извлечением корня. Эти числа можно подставить в формулу координат точки $%D$%, то есть $%\sin\varphi\approx\varphi$% и $%\cos\varphi\approx1-\varphi^2/2$%. Можете посмотреть, даст ли это приемлемую практическую точность. Трудность может быть связана вот с чем: если угол в 1 градус откладывать по этому способу много раз, то могут накапливаться ошибки округления, и тут уже только практический эксперимент покажет, насколько это влияет на изображение.

Добавление. Проведём расчёт для примера с дугой $%AD$% длины $%2,5$%. Для начала найдём значения $%a$% и $%b$% -- координаты вектора $%\vec{BA}$%. Это $%a=5-8=-3$%, $%b=8-6=2$%. Далее находим радиус окружности $%r$% по формуле $%r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}\approx3,61$%. Значение угла $%\varphi$% в радианах получается делением длины дуги на радиус: $%\varphi=2,5/r\approx0,693$%. Косинус и синус этого угла таковы: $%\cos\varphi\approx0,769$%, $%\sin\varphi\approx0,639$%.

Координаты центра окружности имеют вид $%x_0=8$%, $%y_0=6$%. Теперь вычисляем координаты точки $%D$%. Её абсцисса равна $$a\cos\varphi+b\sin\varphi+x_0\approx(-3)\cdot0,769+2\cdot0,639+8=6,971,$$ а ордината равна $$b\cos\varphi-a\sin\varphi+y_0\approx2\cdot0,769-(-3)\cdot0,639+6=9,455.$$

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 14:46

изменен 25 Ноя '13 1:05

@falcao: Спасибо Вам! И мне искренне стыдно, но я не могу Ваш ответ воспроизвести на листочке. Координаты я из радиан и обратно переводил, для всех значений и только что не делал, не получается. Если Вам не очень сложно, покажите решение на моих значениях, что бы я понял. $%A(5,8), r=3.61,LengthAD(2.5)$% Все время прошедшее с момента ответа я пробовал угадать, где я ошибаюсь, но так и не смог. Вы всё так понятно обьяснили, но я сам не понимаю, почему не получается. Спасайте, без Вас я не смогу.

(24 Ноя '13 20:58) shatal

Я сейчас напишу добавление, и попутно исправлю допущенные мной неточности. Там формулы приведены для случая окружности с центром в нуле, а для Вашего случая их надо немного переиначить. Попутно проиллюстрирую вычисления для указанного Вами примера.

(25 Ноя '13 0:38) falcao

@falcao: Спасибо вам огромное!

(25 Ноя '13 13:56) shatal
10|600 символов нужно символов осталось
0

Огромное спасибо, автору ответа. Очень помог, хотя я очень много времени потерял на поиски данной формулы.

ссылка

отвечен 9 Ноя '17 0:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
24 Ноя '13 0:35

показан
11456 раз

обновлен
9 Ноя '17 0:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru