$$\begin{pmatrix} 3 & 7\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$

задан 24 Ноя '13 0:49

изменен 24 Ноя '13 1:29

falcao's gravatar image


193k1632

10|600 символов нужно символов осталось
0

Обратная матрица здесь находится по обычным формулам -- важно только, чтобы определитель был отличен от нуля. В данном случае он равен $%\Delta=3\cdot2-7\cdot5=2$% по модулю $%31$%. На этот определитель далее придётся делить, поэтому нужно знать, чему равно $%\Delta^{-1}$%. Здесь ясно, что $%2\cdot16=1$% по модулю $%31$%, поэтому вместо деления на $%2$% можно умножать на $%16$%.

Формула для нахождения обратной матрицы над любым полем имеет вид $%A^{-1}=\frac1{\det A}(A')^t$%, где $%A'$% -- матрица из алгебраических дополнений, которую потом нужно транспонировать. В данном случае получится $$16\begin{pmatrix}2 & -7\\ -5 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 12\\ 13 & 17\end{pmatrix}$$ после приведения по модулю $%31$%.

С чисто вычислительной точки зрения проще не умножать на 16, а лучше делить на 2. К нечётным числам при этом просто прибавляется 31. Например, $%-7/2$% превращается в $%(31-7)/2=12$% и т. п.

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 1:29

Спасибо! Еще определить должен быть взаимно прост с модулем, так? Иначе не получится найти обратный элемент к определителю.

(24 Ноя '13 15:50) Inna

Да, это верно: определитель должен быть обратим в соответствующем кольце вычетов, что следует из теоремы об умножении определителей. В данном случае речь идёт о поле вычетов по простому модулю $%p$%, поэтому определитель не должен делиться на $%p$%, то есть обращаться в ноль как элемент этого поля.

(24 Ноя '13 15:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первая строка (1, 12), вторая строка (13,17). Решаем систему 3х+7у=1(mod31); 5x+2y=0(mod31), решаем (умножаем первое сравнение на 5, второе на -3, получаем 29у=5(31) или -2у=-26(31) или у=13(31), подставляем дальше, получаем x=1(31); y=13(31) - первый столбик готов. Аналогично второй 3х+7у=0(mod31); 5x+2y=1(mod31), решаем, получаем x=12(31); y=17(31) - второй столбик.

ссылка

отвечен 24 Ноя '13 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×858

задан
24 Ноя '13 0:49

показан
2800 раз

обновлен
24 Ноя '13 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru